Superfícies, fluxo e os teoremas da divergência e de Stokes

O plano $z=x+2y$ sobre o quadrado $0\le x,y\le1$ tem mais área que a sua projeção. O mapa $\mathbf r(x,y)=(x,y,x+2y)$ transforma cada retângulo do domínio num paralelogramo inclinado.

A área usa o tamanho desse paralelogramo. O fluxo de um campo usa também o lado escolhido para a normal: atravessar a superfície para cima ou para baixo dá sinais opostos.

Parametrizar uma superfície

Para uma parametrização $\mathbf r(u,v)$ de classe $C^1$, que cobre a superfície uma só vez salvo fronteiras de área zero, considera o retângulo $[u,u+\Delta u]\times[v,v+\Delta v]$.

A sua imagem é aproximada pelo paralelogramo gerado por $\mathbf r_u\Delta u$ e $\mathbf r_v\Delta v$, ambos tangentes às curvas coordenadas. A área desse paralelogramo é $\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\|\,\Delta u\Delta v$. Somar estas áreas e passar ao limite dá o integral de área. O esquema seguinte mostra o retângulo no domínio e o paralelogramo tangente gerado por $\mathbf r_u\Delta u$ e $\mathbf r_v\Delta v$.

Onde o produto não se anula, a parametrização é regular e

$$dS=\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\|\,du\,dv.$$

O gráfico $z=f(x,y)$ usa $\mathbf r=(x,y,f)$, com produto $(-f_x,-f_y,1)$ orientado para cima. A sua área é $\iint_D\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}\,dA$. No plano $z=x+2y$ sobre o quadrado unitário, o fator é $\sqrt6$, logo a área é $\sqrt6$.

A esfera de raio $a$ usa

$$\mathbf r(\varphi,\theta)=(a\sin\varphi\cos\theta,a\sin\varphi\sin\theta,a\cos\varphi).$$

O produto vetorial fundamental é

$$\mathbf r_\varphi\times\mathbf r_\theta=a^2\sin\varphi\,\mathbf e_\rho$$

aponta para fora quando $0<\varphi<\pi$. Nos polos anula-se: a parametrização é singular aí, embora a esfera seja lisa. A singularidade de área zero não altera o integral. A área total é

$$\int_0^{2\pi}\int_0^\pi a^2\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta=4\pi a^2.$$

Integrais de superfície e fluxo

O integral escalar $\iint_S g\,dS$ usa $\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\|$ e não depende da orientação. Mede, por exemplo, massa de uma casca com densidade superficial $g$.

O fluxo de $\mathbf F$ usa uma normal unitária escolhida $\mathbf n$:

$$\iint_S\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS =\iint_D\mathbf F(\mathbf r(u,v))\cdot(\mathbf r_u\times\mathbf r_v)\,du\,dv,$$

quando o produto aponta para o lado pedido. Se apontar para o lado contrário, troca o sinal. Não acrescentes a norma outra vez: já está incluída no vetor área.

Para $\mathbf F=(0,0,z)$ na esfera exterior,

$$\mathbf F\cdot(\mathbf r_\varphi\times\mathbf r_\theta)=a^3\sin\varphi\cos^2\varphi.$$

A integração dá $4\pi a^3/3$.

No gráfico $z=f(x,y)$ orientado para cima, podes integrar diretamente $\mathbf F(x,y,f)\cdot(-f_x,-f_y,1)\,dx\,dy$.

Integral escalar com densidade variável

Na esfera de raio $a>0$, o peso $g(x,y,z)=z^2$ não é constante. Na parametrização anterior, $z=a\cos\varphi$, por isso $g=a^2\cos^2\varphi$. O elemento de área é $a^2\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta$. Multiplicando:

$$\iint_S z^2\,dS=\int_0^{2\pi}\int_0^\pi a^4\cos^2\varphi\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.$$

Na integral em $\varphi$, a substituição $w=\cos\varphi$ muda os limites de $1$ a $-1$ e dá

$$\int_0^\pi\cos^2\varphi\sin\varphi\,d\varphi =\int_{-1}^1w^2\,dw=\frac23.$$

Portanto, o resultado é $4\pi a^4/3$. Se $z^2$ representar densidade superficial com unidades compatíveis, este integral mede massa. Trocar a normal não altera o resultado, porque $dS$ usa a norma do produto vetorial.

O fluxo anterior de $(0,0,z)$ deu $4\pi a^3/3$: incluía a projeção do campo na normal, não o peso $z^2$. Uma função escalar integra-se com a norma do vetor área; um campo vetorial faz produto escalar com o vetor área orientado. São operações diferentes, mesmo na mesma superfície.

Divergência, rotacional e o operador nabla

Para $\mathbf F=(P,Q,R)$ de classe $C^1$,

$$\nabla\cdot\mathbf F=P_x+Q_y+R_z, \qquad \nabla\times\mathbf F=(R_y-Q_z,P_z-R_x,Q_x-P_y).$$

A divergência é escalar e mede o balanço local de saída. O rotacional é vetorial e mede circulação local orientada. Para $\mathbf F=(-y,x,z)$, são 1 e $(0,0,2)$.

Com segundas derivadas contínuas, $\nabla\times\nabla\phi=0$ e $\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf F)=0$. O rotacional nulo é necessário para um potencial e suficiente, por exemplo, num aberto simplesmente conexo. As singularidades e o domínio não desaparecem por calculares zero.

Teorema da divergência

Se $V$ é um sólido limitado com fronteira fechada regular por partes e $\mathbf F$ é $C^1$ numa vizinhança de $V$, o fluxo exterior através da fronteira iguala o integral da divergência no sólido,

$$\iint_{\partial V}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS =\iiint_V\nabla\cdot\mathbf F\,dV,$$

com a normal exterior ao sólido. Para $\mathbf F=(0,0,z)$, a divergência é 1, logo o fluxo exterior da esfera é o volume da bola: $4\pi a^3/3$, como no cálculo direto.

Fechar uma superfície aberta

A hemisfera superior unitária $S$ não é fechada. Acrescenta o disco $T$ em $z=0$, cuja normal exterior ao semissólido é $(0,0,-1)$. Para $\mathbf F=(x,y,z+1)$, a divergência é 3, e o fluxo total é $3(2\pi/3)=2\pi$. Na tampa, o produto com a normal é $-1$, logo o fluxo é $-\pi$. Portanto,

$$\Phi_S=\Phi_{S\cup T}-\Phi_T=2\pi-(-\pi)=3\pi.$$

Subtrair a tampa só funciona depois de conferires a sua orientação. Usar a normal para cima na base deste sólido inverteria o sinal.

Teorema de Stokes

Para uma superfície orientável $S$, regular por partes, com bordo $C$ e um campo $C^1$ numa vizinhança de $S$, a circulação no bordo iguala o fluxo do rotacional através da superfície,

$$\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r =\iint_S(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS.$$

A orientação do bordo segue a mão direita relativamente à normal. Vista de cima, a normal para cima corresponde a percurso anti-horário.

Para $\mathbf F=(-y,x,0)$ e uma circunferência de raio 2 em $z=3$, escolhe o disco plano com normal para cima. O rotacional é $(0,0,2)$, logo a circulação é $2\cdot4\pi=8\pi$. Qualquer outra superfície com o mesmo bordo, orientação compatível e hipóteses válidas dá o mesmo valor, por isso não precisas de integrar sobre a superfície mais complicada indicada no desenho.

Stokes também se aplica a uma superfície fechada, cujo bordo é vazio: o fluxo do rotacional é zero. Isso não afirma que o fluxo de um campo arbitrário numa esfera seja zero.

Escolher o método

Pedido	Primeira escolha a considerar	Condição a conferir
Área ou massa superficial	Integral escalar parametrizado	Elemento $dS$ e cobertura da superfície
Fluxo de $\mathbf F$ por superfície fechada	Divergência	Normal exterior e ausência de singularidades no sólido
Fluxo por superfície aberta	Direto ou fechar e subtrair tampas	Orientação de cada parte
Circulação num bordo espacial	Stokes	Normal e bordo compatíveis
Circulação numa curva plana fechada	Green	Campo definido em toda a região

A aparência da fórmula não basta. Um campo com singularidade dentro do sólido não satisfaz as hipóteses da divergência, mesmo que a derivada calculada fora da singularidade seja zero.