Laplace no retângulo

Uma placa retangular em equilíbrio satisfaz $u_{xx}+u_{yy}=0$. Fixar a temperatura em três lados a zero e aquecer o quarto obriga cada modo a anular-se nos lados frios; o dado do lado quente escolhe os coeficientes.

Um lado com dados

Em $0<x<a$, $0<y<b$, com $u_{xx}+u_{yy}=0$, impõe $u=0$ em $x=0$, $x=a$ e $y=0$, e $u(x,b)=f(x)$.

O ensaio $u=X(x)Y(y)$ dá $X''/X=-Y''/Y=-\lambda$. Com $X(0)=X(a)=0$, $X_n=\sin(n\pi x/a)$. Em $y$, $Y''-\lambda Y=0$ com $Y(0)=0$ escolhe o seno hiperbólico:

$$Y_n=\sinh\frac{n\pi y}{a}.$$

A solução é

$$u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}B_n\frac{\sinh(n\pi y/a)}{\sinh(n\pi b/a)}\sin\frac{n\pi x}{a},$$

Os coeficientes são a série de senos do dado do topo:

$$B_n=2/a\int_0^a f(x)\sin(n\pi x/a)\,dx.$$

Cada modo anula-se nos três lados homogéneos e vale $B_n\sin(n\pi x/a)$ em $y=b$.

Com $a=b=1$ e $f=1$,

$$B_n=2(1-(-1)^n)/(n\pi),$$

ou seja, $4/(n\pi)$ nos ímpares e $0$ nos pares. Fica

$$u=\frac{4}{\pi}\sum_{m\ge0}\frac{\sinh((2m+1)\pi y)\sin((2m+1)\pi x)}{(2m+1)\sinh((2m+1)\pi)}.$$

O cosseno hiperbólico não serviria aqui, porque vale $1$ em $y=0$.

O denominador $\sinh(n\pi b/a)$ normaliza o modo para ter fator vertical 1 no topo. No exemplo com $f=1$, os dados nos cantos superiores são incompatíveis: o lado vertical pede 0 e o superior pede 1. Entendemos os dados nos lados abertos. A solução é harmónica no interior, mas não pode prolongar-se continuamente a esses cantos.

Dois lados com dados não nulos

Com lados verticais a zero, base $u(x,0)=g(x)$ e topo $u(x,b)=f(x)$, divide o problema em dois. Uma solução recebe o dado da base e vale zero no topo; a outra recebe o dado do topo e vale zero na base. A soma resolve o problema original porque a EDP é linear e homogénea.

Escreve as séries de senos dos dois dados, com $\omega_n=n\pi/a$: $G_n=\tfrac2a\int_0^a g(x)\sin(\omega_nx)\,dx$ para a base e $F_n=\tfrac2a\int_0^a f(x)\sin(\omega_nx)\,dx$ para o topo.

Para cada modo, o fator que vale 1 na base e 0 no topo é $\sinh(\omega_n(b-y))/\sinh(\omega_nb)$. O que vale 0 na base e 1 no topo é $\sinh(\omega_ny)/\sinh(\omega_nb)$. Soma as duas contribuições:

$$u(x,y)=\sum_{n\ge1}Y_n(y)\sin(\omega_nx),$$ $$Y_n(y)=G_n\frac{\sinh(\omega_n(b-y))}{\sinh(\omega_nb)} +F_n\frac{\sinh(\omega_ny)}{\sinh(\omega_nb)}.$$

No quadrado unitário com base a 100 e topo a 200, $G_n=400/(n\pi)$ e $F_n=800/(n\pi)$ para $n$ ímpar, sendo ambos zero para $n$ par. Cada termo recupera o seu coeficiente na respetiva fronteira e não altera a fronteira oposta. Os cantos voltam a ter dados incompatíveis com os lados verticais a zero, por isso interpretamos os dados nos lados abertos.

Substituir apenas o denominador da solução com três lados nulos não resolve dois dados independentes: são necessárias as duas famílias de contribuições.

Neumann e o modo constante

Mantém os lados $x=0$ e $x=a$ a zero, mas troca a base por $u_y(x,0)=0$. Escrevendo $\omega_n=n\pi/a$, a equação vertical é $Y''-\omega_n^2Y=0$, logo

$$Y=C\cosh(\omega_n y)+D\sinh(\omega_n y).$$

A condição $Y'(0)=0$ dá $D=0$. Para o mesmo dado superior $f$, a solução passa a

$$u(x,y)=\sum_{n\ge1}B_n\frac{\cosh(\omega_n y)}{\cosh(\omega_n b)}\sin(\omega_n x).$$

Com os mesmos lados verticais a zero e o mesmo dado superior, compara as duas escolhas:

Condição na base	Fator vertical normalizado	Na base
$u(x,0)=0$	$\sinh(\omega_n y)/\sinh(\omega_n b)$	Valor zero
$u_y(x,0)=0$	$\cosh(\omega_n y)/\cosh(\omega_n b)$	Derivada zero

Em ambos os casos, o fator vale 1 no topo. Mudou a função hiperbólica, não os coeficientes de senos do mesmo dado superior.

Se os lados verticais forem isolados, $u_x(0,y)=u_x(a,y)=0$, os modos espaciais passam a cossenos, incluindo o modo constante. Para $u(x,0)=x$ e $u(x,b)=0$, a série de cossenos do dado é

$$x=\frac a2+\sum_{n\ge1}a_n\cos\frac{n\pi x}{a},\qquad a_n=\frac{2a\bigl((-1)^n-1\bigr)}{n^2\pi^2}.$$

O modo $n=0$ satisfaz $Y''=0$, por isso interpola linearmente a média entre a base e o topo:

$$u(x,y)=\frac a2\left(1-\frac yb\right)+ \sum_{n\ge1}a_n\frac{\sinh(\omega_n(b-y))}{\sinh(\omega_n b)}\cos(\omega_n x).$$

Omitir o primeiro termo perderia a média do dado inferior. Cada modo não constante anula-se no topo e recupera o seu coeficiente na base.

Robin e o sinal da derivada

Considera $a=b=1$, lados verticais a zero, $u_y(x,0)=u(x,0)$ e $u(x,1)=f(x)$. Os modos em $x$ continuam a ser $\sin(n\pi x)$. Para $\omega=n\pi$, a condição da base dá

$$Y'(0)=Y(0)\quad\Longrightarrow\quad \omega D=C.$$

Escolhe $C=1$ e $D=1/\omega$. Normalizando no topo, obtemos

$$u(x,y)=\sum_{n\ge1}B_n \frac{\cosh(n\pi y)+\sinh(n\pi y)/(n\pi)} {\cosh(n\pi)+\sinh(n\pi)/(n\pi)}\sin(n\pi x),$$

onde $B_n=2\int_0^1f(x)\sin(n\pi x)\,dx$. Na base, o fator vertical e a sua derivada são ambos o recíproco do denominador; no topo, o fator vale 1.

Uma condição de Robin relaciona valor e derivada normal. Na base, a normal exterior aponta para baixo, portanto $\partial_nu=-u_y$. A condição escrita $u_y=u$ equivale aqui a $\partial_nu+u=0$. Confundir $u_y$ com a derivada exterior troca o sinal e escolhe outro problema.