Ondas e vibração

Uma corda ideal, sem amortecimento e fixa nas extremidades, pode partir da posição de equilíbrio e ainda assim mover-se, se tiver velocidade inicial. Por isso, resolver $u_{tt}=c^2u_{xx}$ exige tanto o deslocamento $f(x)$ como a velocidade $g(x)$, com $c>0$.

Separação com dois dados

Em $0<x<L$, $u_{tt}=c^2u_{xx}$, com $u(0,t)=u(L,t)=0$, $u(x,0)=f(x)$ e $u_t(x,0)=g(x)$, o ensaio $u=X(x)T(t)$ dá $T''/c^2T=X''/X=-\lambda$. Os modos espaciais são os mesmos do calor: $\sin(n\pi x/L)$ com $\lambda_n=(n\pi/L)^2$. No tempo, cada modo oscila:

A solução é

Em $t=0$, o cosseno vale 1 e o seno vale 0, logo $f$ escolhe $A_n$. Ao derivar no tempo, o seno introduz a frequência $\omega_n=n\pi c/L$, logo $g$ escolhe $\omega_n B_n$:

O fator $1/\omega_n$ distingue a amplitude do deslocamento da amplitude da velocidade. A soma é uma solução clássica quando os dados têm regularidade e compatibilidade suficientes para derivar a série; dados por troços podem exigir uma interpretação mais fraca.

Velocidade inicial

Com $L=\pi$, $c=1$, $f=0$ e $g(x)=\sin x$, só o primeiro modo aparece. Então $A_1=0$ e $B_1\cdot1=1$, logo

Confere: $u_{tt}=-\sin x\sin t=u_{xx}$; as fronteiras são nulas; $u(x,0)=0$ e $u_t(x,0)=\sin x$. A energia oscila entre cinética e potencial sem decair, ao contrário do calor.

Deslocamento e velocidade juntos

Com $L=1$, $c=1$ e $f(x)=g(x)=x(1-x)$, a conta de Fourier da parábola dá

Portanto, a solução soma estes modos com os dois dados,

Em $t=0$ recuperamos $f$; a derivada temporal cancela o denominador $n\pi$ e recupera $g$. Cada modo satisfaz $u_{tt}=u_{xx}$ e os dois extremos fixos.

Um dado como $0{,}01\sin(3\pi x)$ é um modo puro em $(0,1)$, mas não em $(0,\pi)$: os modos dependem do comprimento. Confere o argumento do seno e o intervalo antes de reduzir uma série a um termo.

Sem a velocidade inicial, os $B_n$ ficam indeterminados.