Taylor e extremos em várias variáveis

Aproximar por polinómios (Taylor) e procurar máximos e mínimos (extremos) são as duas utilizações mais diretas das derivadas. Em várias variáveis, a novidade é a hessiana, a matriz das segundas derivadas que distingue máximos de mínimos e de pontos de sela, e os multiplicadores de Lagrange, que tratam restrições.

Polinómio de Taylor de segunda ordem

Se $f$ tem derivadas contínuas até à segunda ordem perto de $(a, b)$, o polinómio de Taylor de grau $2$ é

$$P_2(x, y) = f(a,b) + f_x h + f_y k + \frac{1}{2}\left(f_{xx}h^2 + 2f_{xy}hk + f_{yy}k^2\right),$$

com $h = x - a$, $k = y - b$ e derivadas avaliadas em $(a, b)$. É a aproximação quadrática que coincide com a função em valor, inclinação e curvatura no centro.

Para $f(x, y) = e^x \cos y$ em $(0, 0)$: $f(0,0) = 1$, $f_x = e^x\cos y = 1$, $f_y = -e^x\sin y = 0$, $f_{xx} = e^x\cos y = 1$, $f_{xy} = -e^x\sin y = 0$, $f_{yy} = -e^x\cos y = -1$. Logo

$$P_2(x, y) = 1 + x + \frac{x^2 - y^2}{2}.$$

Confirma multiplicando as aproximações de uma variável: $(1 + x + x^2/2)(1 - y^2/2) \approx 1 + x + x^2/2 - y^2/2$. Bate certo até à segunda ordem. Repara na simetria: o termo cruzado $hk$ desaparece porque $f_{xy} = 0$, ou seja, perto da origem as variáveis não interagem.

Extremos livres e a hessiana

Um ponto interior $(a, b)$ só pode ser extremo local se for ponto crítico: $f_x(a, b) = 0$ e $f_y(a, b) = 0$ (o plano tangente é horizontal). Para classificar, usa-se a matriz hessiana

$$H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{xy} & f_{yy} \end{pmatrix}, \quad D = \det H = f_{xx}f_{yy} - f_{xy}^2.$$

Se $D > 0$ e $f_{xx} > 0$, é mínimo local; se $D > 0$ e $f_{xx} < 0$, é máximo local; se $D < 0$, é ponto de sela (sobe numa direção e desce noutra); se $D = 0$, o teste é inconclusivo.

Aplica a $f(x, y) = x^2 + y^2 - xy - 3x$. As condições $f_x = 2x - y - 3 = 0$ e $f_y = 2y - x = 0$ dão $x = 2y$ e $4y - y - 3 = 0$, logo o único ponto crítico é $(2, 1)$. A hessiana é constante, $\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}$, com $D = 4 - 1 = 3 > 0$ e $f_{xx} = 2 > 0$: mínimo local, com valor $f(2, 1) = 4 + 1 - 2 - 6 = -3$.

Porque aparece um ponto de sela?

O termo $-xy$ inclina a tigela: ao longo de $y = x$ a função cresce como $x^2$, mas noutras direções o comportamento difere. Sem esse termo, $x^2 + y^2 - 3x$ teria mínimo óbvio. O teste da hessiana deteta exatamente este acoplamento através de $f_{xy}$.

Extremos condicionados e Lagrange

Quando o ponto está preso a uma restrição $g(x, y) = 0$ (por exemplo, uma curva), o extremo já não exige gradiente nulo: exige que $\nabla f$ seja paralelo a $\nabla g$, porque só interessa a variação ao longo da restrição. Isto dá as equações de Lagrange:

$$\nabla f = \lambda \nabla g, \qquad g(x, y) = 0,$$

onde $\lambda$ é o multiplicador. São três equações para $x$, $y$ e $\lambda$.

Determina os extremos de $f(x, y) = x + y$ sobre a circunferência $x^2 + y^2 = 4$. O sistema é $1 = 2\lambda x$, $1 = 2\lambda y$, $x^2 + y^2 = 4$. Das duas primeiras, $x = y = 1/(2\lambda)$; na restrição, $2x^2 = 4$, logo $x = \pm\sqrt{2}$. Os candidatos são $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ com $f = 2\sqrt{2}$ (máximo) e $(-\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ com $f = -2\sqrt{2}$ (mínimo). Como a circunferência é fechada e limitada, o teorema de Weierstrass garante que máximo e mínimo existem, por isso basta comparar os valores nos candidatos.

Falhas frequentes

Esquecer soluções do sistema de Lagrange é o erro mais caro: equações como $x = 2\lambda x$ têm duas famílias de soluções ($x = 0$ ou $\lambda = 1/2$), e descartar uma perde candidatos. Outro erro é aplicar o teste da hessiana a pontos da restrição em vez de pontos críticos livres. E quando $D = 0$, não inventes a classificação: estuda o sinal de $f$ perto do ponto diretamente ou usa outro método.