Calor e séries de Fourier

A barra $0<x<\pi$ começa com temperatura $f(x)=x(\pi-x)$ e tem extremidades mantidas a zero. Este perfil não é um seno. Precisamos de o decompor em modos que satisfaçam as fronteiras e acompanhar como cada modo arrefece.

Dirichlet e série de senos

Em $0<x<L$, $u_t=k u_{xx}$, com $k>0$, $u(0,t)=u(L,t)=0$ e $u(x,0)=f(x)$, procura $u=X(x)T(t)$. A separação dá $T'/kT=X''/X=-\lambda$. Com $X(0)=X(L)=0$, os valores próprios são $\lambda_n=(n\pi/L)^2$ e $X_n=\sin(n\pi x/L)$, $n=1,2,\ldots$. Cada modo é

Por linearidade, soma modos:

Em $t=0$, os coeficientes são a série de senos de $f$:

Multiplica a série inicial por $\sin(m\pi x/L)$ e integra. A ortogonalidade elimina todos os termos com $n\ne m$:

Resta $B_mL/2$, o que explica o fator $2/L$. Para dados de classe $C^1$ por troços, a série recupera o valor nos pontos interiores de continuidade e a média dos limites laterais nos saltos. Para $t>0$, o decaimento exponencial permite derivar a série no interior e verificar a EDP. Um dado incompatível com a fronteira não produz uma solução contínua no canto $t=0$ dessa fronteira.

Dado não modal

Com $L=\pi$, $k=1$ e $f(x)=x(\pi-x)$, o dado é uma parábola, não um seno. Os coeficientes são

Seja $I_n=\int_0^\pi x(\pi-x)\sin(nx)\,dx$. O termo de fronteira da primeira integração por partes é zero, porque a parábola se anula nas extremidades:

Na segunda passagem, o termo com $\sin(nx)$ também se anula nas extremidades. Assim, $B_n=2I_n/\pi$ vale $8/(\pi n^3)$ para $n$ ímpar e $0$ para $n$ par. Em particular,

A solução é

Cada modo satisfaz a EDP e as fronteiras; em $t=0$ a série reproduz a parábola. Um só modo erraria o dado inicial: o primeiro modo excede a parábola no centro, e o modo $n=3$, negativo aí, corrige parte da diferença.

A taxa de decaimento do modo $n$ é $n^2$: o modo 3 decai 9 vezes mais depressa que o fundamental. Por isso, os detalhes finos do dado inicial desaparecem primeiro e o perfil fica suave depressa, mesmo quando o dado tem um salto.

O gráfico compara o dado com o primeiro modo, nas mesmas escalas. Depois de alguns instantes, o primeiro modo já aproxima bem o perfil, porque os termos seguintes decaíram quase por completo.

Neumann e o modo constante

Com extremidades isoladas, $u_x(0,t)=u_x(L,t)=0$, os modos são cossenos, incluindo $n=0$:

Para $L=2$ e $f(x)=x$ em $0<x<1$, $f=0$ em $1<x<2$, a média é $1/4$ e $a_n=\int_0^1x\cos(n\pi x/2)\,dx$.

Escrevendo $\omega_n=n\pi/2$, a primitiva por partes dá

Por exemplo, $a_1=2/\pi-4/\pi^2$ e $a_2=-2/\pi^2$. No salto $x=1$, a série inicial converge para $1/2$. Para $t>0$, o perfil fica suave e tende à média $1/4$ quando $t\to\infty$.

A conservação da média confirma o modo constante:

Os cossenos impõem derivada nula nas extremidades, enquanto os senos imporiam valor nulo. São problemas físicos diferentes.