Sistemas de equações lineares e método de Gauss

As três equações abaixo impõem condições ao mesmo triplo $(x,y,z)$. Resolver cada uma isoladamente não chega: procuramos os valores que verificam todas ao mesmo tempo.

Trabalhamos com coeficientes e incógnitas reais.

Do sistema à matriz

Um sistema de $m$ equações a $n$ incógnitas escreve-se como

$$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \vdots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$$

e condensa-se na forma matricial $AX = B$, onde $A$ é a matriz dos coeficientes ($m \times n$), $X$ é a coluna das incógnitas e $B$ é a coluna dos termos independentes. Para trabalhar, juntamos as duas na matriz ampliada $[A \mid B]$, que é onde o método de Gauss atua.

Exemplo com três equações e três incógnitas, que resolvemos em simultâneo:

$$\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 2 \end{cases} \qquad [A \mid B] = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & \mid & 6 \\ 2 & -1 & 1 & \mid & 3 \\ 1 & 2 & -1 & \mid & 2 \end{bmatrix}.$$

O método de Gauss

A ideia é transformar a matriz ampliada noutra equivalente, com as mesmas soluções, mas em escada de linhas:

• a primeira entrada não nula de cada linha é o pivô (não tem de ser 1);
• cada pivô fica à direita do anterior;
• as linhas nulas ficam em baixo.

Usamos três operações elementares, todas reversíveis:

1. trocar duas linhas;
2. multiplicar uma linha por um escalar não nulo;
3. somar a uma linha um múltiplo de outra linha.

Para eliminar no exemplo, subtrai o dobro da linha 1 à linha 2 e a linha 1 à linha 3:

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & \mid & 6 \\ 0 & -3 & -1 & \mid & -9 \\ 0 & 1 & -2 & \mid & -4 \end{bmatrix}.$$

Troca as linhas 2 e 3 para usar o pivô 1, que evita frações. Depois faz $L_3\leftarrow L_3+3L_2$:

• a segunda entrada fica $-3+3=0$;
• a terceira fica $-1+3(-2)=-7$;
• o termo independente fica $-9+3(-4)=-21$.

Obténs:

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & \mid & 6 \\ 0 & 1 & -2 & \mid & -4 \\ 0 & 0 & -7 & \mid & -21 \end{bmatrix}.$$

A última linha diz $-7z = -21$, logo $z = 3$.

Subindo: $y - 2 \cdot 3 = -4$, logo $y = 2$. E $x + 2 + 3 = 6$, logo $x = 1$.

A solução é $(x, y, z) = (1, 2, 3)$, que podes confirmar por substituição direta nas três equações originais.

Característica e classificação

A característica de uma matriz, $\operatorname{car}(A)$, é o número de linhas não nulas da sua forma em escada, ou seja, o número de pivôs. Para classificar um sistema, compara-se a característica da matriz dos coeficientes com a da matriz ampliada:

• se $\operatorname{car}(A) = \operatorname{car}([A \mid B]) = n$ (número de incógnitas), o sistema é possível e determinado: tem exatamente uma solução;
• se $\operatorname{car}(A) = \operatorname{car}([A \mid B]) < n$, o sistema é possível e indeterminado: tem infinitas soluções, com $n - \operatorname{car}(A)$ variáveis livres;
• se $\operatorname{car}(A) < \operatorname{car}([A \mid B])$, o sistema é impossível: não tem solução.

No exemplo, ambas as características valem 3, igual ao número de incógnitas: sistema possível e determinado, como a solução única confirmou.

Dois casos pequenos para fixar a leitura.

O sistema $x + y = 1$ com $2x + 2y = 2$ tem ampliada $\begin{bmatrix} 1 & 1 & \mid & 1 \\ 0 & 0 & \mid & 0 \end{bmatrix}$: característica 1 de ambos os lados, uma variável livre, infinitas soluções da forma $(1 - t, t)$.

Já $x + y = 1$ com $x + y = 2$ dá $\begin{bmatrix} 1 & 1 & \mid & 1 \\ 0 & 0 & \mid & 1 \end{bmatrix}$: a segunda linha lê-se $0 = 1$. É impossível. Uma linha $[0 \;\; 0 \;\; \dots \;\; 0 \mid b]$ com $b \neq 0$ é sempre o sinal de impossibilidade.

Um sistema com $B = 0$ diz-se homogéneo. Nunca é impossível, porque $(0, 0, \dots, 0)$ resolve-o sempre (a solução trivial). Tem outras soluções além da trivial exatamente quando $\operatorname{car}(A) < n$. Em particular, um sistema homogéneo com mais incógnitas do que equações tem sempre soluções não triviais.

Sistemas com um parâmetro

Quando os coeficientes dependem de um parâmetro, a classificação muda com ele. Por isso, separa os valores que anulam um pivô antes de dividires por ele.

Considera

$$\begin{cases} x + ky = 1 \\ kx + y = 1 \end{cases}$$

com $k \in \mathbb{R}$. O determinante da matriz dos coeficientes é $1 \cdot 1 - k \cdot k = 1 - k^2$, que se anula exatamente para $k = 1$ e $k = -1$.

• Se $k \neq 1$ e $k \neq -1$, o determinante é não nulo: sistema possível e determinado, com solução única obtida por substituição.
• Se $k = 1$, as duas equações são $x + y = 1$: a segunda repete a primeira. Sistema possível e indeterminado, com soluções $(1 - t, t)$.
• Se $k = -1$, as equações são $x - y = 1$ e $-x + y = 1$. Somando-as obténs $0 = 2$: sistema impossível.

A estratégia geral é separar esses valores antes de dividir por um pivô. O determinante $1-k^2$ confirma a mesma separação quando a matriz é quadrada, mas a decisão nasce da eliminação $L_2\leftarrow L_2-kL_1$, que dá $(1-k^2)y=1-k$. Para matrizes retangulares, usa Gauss e compara características.

No exemplo, $L_2\leftarrow L_2-kL_1$ dá $(1-k^2)y=1-k$. Se $k\ne\pm1$, podemos dividir e obter $y=1/(1+k)$, depois $x=1/(1+k)$. Cancelar $1-k$ sem estudar $k=1$ apagaria precisamente o caso com infinitas soluções.

Forma reduzida e variáveis livres

No método de Gauss-Jordan, normalizamos os pivôs para 1 e eliminamos também acima deles. A forma resultante é a forma em escada reduzida. Por exemplo,

$$\left[\begin{array}{ccc|c} 1&2&-1&3\\ 0&0&1&2\\ 0&0&0&0 \end{array}\right] \ \xrightarrow{L_1\leftarrow L_1+L_2}\ \left[\begin{array}{ccc|c} 1&2&0&5\\ 0&0&1&2\\ 0&0&0&0 \end{array}\right].$$

As colunas de $x$ e $z$ têm pivôs; a de $y$ não. Escolhemos $y=t$ e obtemos

$$(x,y,z)=(5-2t,t,2)=(5,0,2)+t(-2,1,0),\qquad t\in\mathbb R.$$

A linha nula não é uma incógnita livre. São as colunas sem pivô da matriz dos coeficientes que identificam as incógnitas livres.

Este exemplo também mostra a estrutura de um sistema não homogéneo. Chamamos núcleo de $A$, $\ker A$, ao conjunto das soluções de $Ax=0$. Se $x_0$ é uma solução de $Ax=b$, todas as soluções são $x_0+\ker A$, isto é, $x_0+u$ com $Au=0$. A diferença entre duas soluções pertence ao núcleo, porque $A(x-x_0)=b-b=0$.

Aqui, o núcleo é gerado por $(-2,1,0)$. O conjunto das soluções é uma reta deslocada, não um subespaço.

Inversa por Gauss-Jordan

Para inverter $A$, colocamos a identidade à direita e aplicamos cada operação aos dois blocos:

$$\left[\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\2&5&0&1\end{array}\right] \xrightarrow{L_2\leftarrow L_2-2L_1} \left[\begin{array}{cc|cc}1&2&1&0\\0&1&-2&1\end{array}\right] \xrightarrow{L_1\leftarrow L_1-2L_2} \left[\begin{array}{cc|cc}1&0&5&-2\\0&1&-2&1\end{array}\right].$$

Logo $A^{-1}=\begin{bmatrix}5&-2\\-2&1\end{bmatrix}$. A verificação $AA^{-1}=I$ confirma a conta. Se faltar um pivô no bloco esquerdo, não conseguimos transformá-lo em $I$: a matriz é singular e não tem inversa. Um pivô no bloco direito não resolve essa falta.

Ler a característica

Para uma matriz $m\times n$, $0\leq\operatorname{car}(A)\leq\min(m,n)$. A característica também é a dimensão do espaço gerado pelas colunas e do espaço gerado pelas linhas. Operações elementares preservam esse número.

Por isso, ter mais equações do que incógnitas não torna um sistema automaticamente impossível, pois equações podem repetir-se. Ter menos equações do que incógnitas impede uma solução única, mas o sistema ainda pode ser impossível ou ter infinitas soluções.

O que costuma correr mal

• Fazer operações que não são elementares, como multiplicar duas linhas entre si ou somar a coluna dos termos independentes a uma coluna de coeficientes.
• Esquecer a coluna $B$ durante a eliminação, ou aplicá-la só a algumas linhas. Leva-a sempre contigo até ao fim.
• Declarar um sistema impossível por veres zeros à esquerda sem olhar para a última coluna: $[0 \;\; 0 \mid 0]$ é uma equação redundante, só $[0 \;\; 0 \mid b \neq 0]$ é contradição.
• Contar mal as variáveis livres: são $n - \operatorname{car}(A)$, não o número de zeros que vês na matriz.