Matrizes e operações matriciais

Quase tudo em ALGA passa por matrizes: um sistema de equações escreve-se como $AX = B$, uma aplicação linear representa-se por uma matriz e um vetor próprio obedece a $Av = \lambda v$. Por isso, a primeira competência da cadeira é operar com matrizes sem erros de índices nem de dimensões.

O que é uma matriz

Uma matriz do tipo $m \times n$ sobre os reais é um quadro com $m$ linhas e $n$ colunas de números reais:

$$A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}.$$

A entrada $a_{ij}$ vive na linha $i$ e na coluna $j$. O tipo indica-se sempre como linhas $\times$ colunas: uma matriz $3 \times 2$ tem 3 linhas e 2 colunas. Uma matriz com $m = n$ diz-se quadrada (de ordem $n$); com $m = 1$ é uma matriz linha e com $n = 1$ é uma matriz coluna, que é como vamos escrever vetores quando multiplicamos por matrizes.

Algumas matrizes têm nome próprio. A matriz nula $0$ tem todas as entradas iguais a zero. A matriz identidade $I_n$ é quadrada de ordem $n$, com uns na diagonal principal e zeros fora dela:

$$I_2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad I_3 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

Uma matriz quadrada diz-se diagonal quando só a diagonal principal pode ter entradas não nulas, triangular superior quando tudo abaixo da diagonal é zero e simétrica quando $a_{ij} = a_{ji}$ para todos os pares (vamos voltar às simétricas na página de valores próprios).

Soma e produto por escalar

A soma de duas matrizes do mesmo tipo faz-se entrada a entrada, e o produto por um escalar $k$ multiplica todas as entradas por $k$:

$$A + B = [a_{ij} + b_{ij}], \qquad kA = [k a_{ij}].$$

Com as matrizes

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix},$$

temos

$$A + B = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}, \qquad 2A = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 6 \end{bmatrix}.$$

Somar matrizes de tipos diferentes não faz sentido, tal como somar vetores de dimensões diferentes. Se o enunciado pede $A + B$ e os tipos não coincidem, algo está errado antes de começares a conta.

Produto de matrizes

O produto $AB$ só existe quando o número de colunas de $A$ iguala o número de linhas de $B$. Se $A$ é $m \times p$ e $B$ é $p \times n$, o produto é $m \times n$ e cada entrada combina uma linha de $A$ com uma coluna de $B$:

$$(AB)_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \dots + a_{ip}b_{pj}.$$

Em palavras: a entrada na linha $i$, coluna $j$ do produto é o produto escalar da linha $i$ de $A$ pela coluna $j$ de $B$. Com as matrizes $A$ e $B$ acima, ambas $2 \times 2$:

$$AB = \begin{bmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot 4 & 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 \\ 0 \cdot 1 + 3 \cdot 4 & 0 \cdot (-1) + 3 \cdot 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 12 & 6 \end{bmatrix}.$$

Repara que a ordem interessa. No sentido contrário:

$$BA = \begin{bmatrix} 1 \cdot 2 + (-1) \cdot 0 & 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 3 \\ 4 \cdot 2 + 2 \cdot 0 & 4 \cdot 1 + 2 \cdot 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 8 & 10 \end{bmatrix} \neq AB.$$

O produto de matrizes não é comutativo em geral. Este é o erro mais caro desta página: nunca troques a ordem de um produto para “simplificar”. O que vale sempre é a associatividade, $A(BC) = (AB)C$, a distributividade, $A(B + C) = AB + AC$, e o papel da identidade, $AI_n = I_m A = A$ para $A$ do tipo $m \times n$.

Transposta

A transposta $A^T$ obtém-se trocando linhas por colunas: a linha $i$ de $A$ passa a ser a coluna $i$ de $A^T$. No exemplo,

$$A^T = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}.$$

As propriedades que vais usar são $(A^T)^T = A$, $(A + B)^T = A^T + B^T$ e, com atenção à ordem,

$$(AB)^T = B^T A^T.$$

A ordem inverte-se porque as linhas de $AB$ vêm das linhas de $A$, que passam a colunas. Uma matriz quadrada com $A^T = A$ é simétrica; com $A^T = -A$ diz-se antissimétrica.

Matriz inversa

Uma matriz quadrada $A$ de ordem $n$ diz-se invertível (ou não singular) quando existe uma matriz $A^{-1}$ do mesmo tipo tal que

$$AA^{-1} = A^{-1}A = I_n.$$

Se existir, a inversa é única. Nem todas as matrizes quadradas têm inversa: a matriz nula, por exemplo, nunca é invertível, porque qualquer produto com ela continua a dar zero.

Para matrizes $2 \times 2$ há uma fórmula direta. Se $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ e $ad - bc \neq 0$, então

$$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}.$$

O número $ad - bc$ é o determinante de $A$, que vais estudar na próxima página depois desta. Toma $C = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$. O determinante vale $2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 5$, logo

$$C^{-1} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3/5 & -1/5 \\ -1/5 & 2/5 \end{bmatrix}.$$

Confirmamos multiplicando:

$$CC^{-1} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{5}\begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} = I_2.$$

Para ordens maiores, a inversa calcula-se pelo método de Gauss-Jordan (resolver $AX = I$ em simultâneo) ou pela matriz adjunta, que envolve determinantes. Ambos aparecem nas páginas seguintes. Para já, fixa as propriedades: $(A^{-1})^{-1} = A$, $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$ (outra vez com a ordem trocada) e $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$.

Exemplo resolvido

Calcula $AB$, $BA$ e verifica se $C = AB - BA$ é simétrica, com as matrizes $A$ e $B$ do início.

Já temos $AB = \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 12 & 6 \end{bmatrix}$ e $BA = \begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 8 & 10 \end{bmatrix}$. Subtraindo:

$$C = AB - BA = \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 4 & -4 \end{bmatrix}.$$

Para $C$ ser simétrica seria preciso $C^T = C$, ou seja, as entradas fora da diagonal iguais: $c_{12} = 2$ contra $c_{21} = 4$. Não é simétrica. Nota que a diagonal de $AB - BA$ pode ser qualquer coisa, mas o traço (a soma da diagonal) é sempre zero quando $AB$ e $BA$ existem, porque $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$. Aqui, $\operatorname{tr}(AB) = 12$ e $\operatorname{tr}(BA) = 12$. Confirmado.

O que costuma correr mal

• Multiplicar matrizes sem verificar os tipos e obter uma matriz com o formato errado, ou tentar somar matrizes de tipos diferentes.
• Trocar a ordem de um produto ou de uma inversa de produto: $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$, nunca $A^{-1}B^{-1}$ em geral.
• Aplicar a fórmula da inversa $2 \times 2$ sem verificar que $ad - bc \neq 0$, ou trocar os sinais das entradas fora da diagonal.
• Confundir $A^T$ com $A^{-1}$: a transposta existe sempre, a inversa só para quadradas com determinante não nulo.