Mudanças de base

O vetor $(3,1)$ escreve-se $2(1,1)+(1,-1)$. As componentes canónicas são $(3,1)$, mas as coordenadas na base $U=((1,1),(1,-1))$ são $(2,1)$.

O vetor mantém-se; muda a lista de coeficientes que o representa. Uma matriz de passagem faz esta tradução para qualquer vetor.

Coordenadas e a matriz de passagem

Seja $V$ um espaço de dimensão $n$ com duas bases ordenadas, $U = \{u_1, \dots, u_n\}$ e $E = \{e_1, \dots, e_n\}$. Cada vetor $v$ tem coordenadas $v_U$ em $U$ e $v_E$ em $E$.

A matriz de mudança de base de $U$ para $E$, que se escreve $M_{U \to E}$, é a matriz que traduz:

$$v_E = M_{U \to E} \, v_U.$$

Constrói-se por colunas: a coluna $j$ contém as coordenadas do vetor $u_j$ escritas na base $E$. Em particular, a matriz de mudança de uma base qualquer para a base canónica tem como colunas os próprios vetores da base.

Em $\mathbb{R}^n$ com a base canónica, o vetor e as suas coordenadas escrevem-se da mesma forma, e é fácil confundi-los.

Noutra base, a diferença aparece: $(3,1)$ é o vetor, $(2,1)$ é a sua descrição em $U$. A matriz de passagem traduz descrições entre bases; o vetor descrito mantém-se.

Exemplo em $\mathbb{R}^2$ com $U = \{(1, 1), (1, -1)\}$ e $E$ a base canónica. As colunas são os vetores de $U$:

$$M_{U \to E} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}.$$

O vetor $v = (3, 1)$ tem coordenadas $v_U = (2, 1)$ (calculámos isto na página de espaços vetoriais: $(3,1) = 2(1,1) + 1(1,-1)$). Traduzindo:

$$M_{U \to E} \, v_U = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \end{bmatrix} = v_E.$$

Confirma: obtivemos as coordenadas canónicas $(3, 1)$.

O desenho mostra o que a conta fez: o vetor $v$ é $2$ passos ao longo de $u_1$ mais $1$ passo ao longo de $u_2$.

Mudança inversa

A mudança inversa, de $E$ para $U$, é a matriz inversa: $M_{E \to U} = M_{U \to E}^{-1}$. No exemplo, $\det M_{U \to E} = -2$, logo

$$M_{E \to U} = -\frac{1}{2}\begin{bmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{bmatrix}.$$

Testa com $v_E = (3, 1)$: obtemos $(3/2 + 1/2,\; 3/2 - 1/2) = (2, 1) = v_U$, as coordenadas de partida.

Para três bases $U$, $E$, $F$, as mudanças encadeiam-se por produto: $M_{U \to F} = M_{E \to F} \, M_{U \to E}$. A ordem segue o caminho das setas: primeiro de $U$ para $E$, depois de $E$ para $F$.

Mudar a matriz de uma aplicação linear

Se $T: V \to V$ tem matriz $A$ usando a mesma base antiga no domínio e na chegada e queres a matriz $B$ usando a mesma base nova nos dois lados, com $P$ a matriz de mudança da base nova para a antiga, então¹

$$B = P^{-1} A P.$$

Esta fórmula é o caso particular de $[T]_{C\leftarrow B}=P_C^{-1}AP_B$ com a mesma base nova nos dois lados (lê a secção seguinte para o caso geral). Duas matrizes relacionadas desta forma dizem-se semelhantes e representam a mesma aplicação em referenciais diferentes. Têm o mesmo determinante, o mesmo traço e os mesmos valores próprios (vais perceber porquê na próxima página).

Para ver a fórmula com números, seja $T(x, y) = (2x + y, x + 2y)$, de matriz canónica $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$, e considera a base nova $U = \{(1, 1), (1, -1)\}$. A matriz de mudança da base nova para a canónica é $P = M_{U \to E} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}$, com inversa $P^{-1} = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{bmatrix}$. Primeiro calcula-se $AP$:

$$AP = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 3 & -1 \end{bmatrix},$$

e depois multiplica-se à esquerda por $P^{-1}$:

$$B = P^{-1}(AP) = \begin{bmatrix} 1/2 & 1/2 \\ 1/2 & -1/2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.$$

A matriz nova é diagonal. Não foi coincidência: escolhemos uma base de vetores próprios, e a próxima página explica por que isso diagonaliza sempre.

Duas bases não canónicas

Se $P_B$ e $P_C$ levam coordenadas das bases $B,C$ para a base canónica, então

$$[v]_C=P_C^{-1}P_B[v]_B.$$

Logo $M_{B\to C}=P_C^{-1}P_B$. A coluna $j$ continua a ser $[b_j]_C$, não o vetor $b_j$ escrito na base canónica. O caminho das coordenadas é sempre o mesmo:

Por exemplo, com $B=((1,1),(1,-1))$ e $C=((1,0),(1,1))$,

$$M_{B\to C}= \begin{bmatrix}1&-1\\0&1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}0&2\\1&-1\end{bmatrix}.$$

Para $[v]_B=(2,1)$, obtemos $[v]_C=(2,1)$. Os números coincidem neste vetor, mas significam combinações de bases diferentes:

$$2(1,1)+(1,-1)=(3,1), \qquad 2(1,0)+(1,1)=(3,1).$$

Não se deduz uma mudança de base pela coincidência de um único vetor.

Bases diferentes no domínio e na chegada

Para $T:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$, de matriz canónica $A$, a matriz que recebe coordenadas em $B$ e devolve coordenadas em $C$ é

$$[T]_{C\leftarrow B}=P_C^{-1}AP_B.$$

O percurso tem três passos: converter o argumento para coordenadas canónicas, aplicar $A$ e converter a saída para $C$. A fórmula $P^{-1}AP$ só aparece quando usamos a mesma base nova nos dois lados de um endomorfismo.

Considera $T(x,y)=(x+y,y,x)$, $B=((1,1),(1,-1))$ e $C=((1,0,1),(0,1,0),(0,0,1))$. Temos

$$A=\begin{bmatrix}1&1\\0&1\\1&0\end{bmatrix},\quad P_B=\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix},\quad P_C=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&0&1\end{bmatrix}.$$

As imagens dos vetores de $B$ são $(2,1,1)$ e $(0,-1,1)$. Para escrever $(r,s,t)$ em $C$, os coeficientes são $(r,s,t-r)$. Portanto,

$$[T]_{C\leftarrow B}= \begin{bmatrix}2&0\\1&-1\\-1&1\end{bmatrix}.$$

Verifica com $[v]_B=(2,1)$: o vetor original é $(3,1)$ e $T(v)=(4,1,3)$. A matriz dá $(4,1,-1)$ em $C$, que reconstrói $4(1,0,1)+(0,1,0)-(0,0,1)=(4,1,3)$.

O que costuma correr mal

• Construir a matriz com os vetores em linha em vez de coluna, ou pôr as coordenadas na base errada nas colunas.
• Aplicar $M_{U \to E}$ a coordenadas que já estão em $E$. Verifica sempre em que base estão as coordenadas antes de multiplicar.
• Na fórmula $B = P^{-1}AP$, trocar $P$ por $P^{-1}$: $P$ é a mudança da base nova para a antiga, não o contrário.
• Tentar mudar de base com uma matriz singular. As colunas têm de formar uma base (independentes); se o determinante for zero, algo está errado na escolha dos vetores.

Notas de rodapé

1. Lê a fórmula da direita para a esquerda: $P$ leva coordenadas novas para antigas, $A$ aplica a transformação, $P^{-1}$ traz o resultado de volta às coordenadas novas. Voltar