Espaços vetoriais, bases e dimensão

As soluções de $x+y+z=0$ formam um plano pela origem. Somar duas soluções dá outra solução, e multiplicar uma solução por qualquer real também.

Estas propriedades permitem estudar o conjunto como um subespaço: obter uma base e contar as direções independentes que contém.

O espaço R elevado a n

O conjunto $\mathbb{R}^n$ contém todos os $n$-tuplos de números reais, $(x_1, x_2, \dots, x_n)$, com soma e produto por escalar feitos coordenada a coordenada. Para $n = 2$ são os pontos do plano e para $n = 3$ os do espaço, e $\mathbb{R}^n$ é o exemplo usado nestas páginas.

Um espaço vetorial (também chamado espaço linear) é qualquer conjunto com uma soma e um produto por escalar que obedecem às mesmas regras: associatividade, comutatividade, elemento neutro e simétricos para a soma, mais as quatro regras que ligam as duas operações. Para vetores $u,v$ e reais $a,b$:

$$a(u+v)=au+av, \qquad (a+b)u=au+bu, \qquad a(bu)=(ab)u, \qquad 1u=u.$$

Se a dúvida é como um deslocamento se escreve com números, vê este vídeo e observa como cada seta se descreve pelas suas componentes:

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Subespaços: conjuntos fechados para as operações

Um subespaço $F$ de $\mathbb{R}^n$ é um subconjunto não vazio tal que:

1. se $u, v \in F$, então $u + v \in F$;
2. se $u \in F$ e $k \in \mathbb{R}$, então $ku \in F$.

Ou seja, consegues somar e multiplicar por escalares sem sair do conjunto. Todo o subespaço contém o vetor nulo (basta fazer $0 \cdot u$).

Exemplo: a reta $y = 2x$ no plano é um subespaço de $\mathbb{R}^2$. Somando $(a, 2a) + (b, 2b) = (a+b, 2(a+b))$ continuas na reta, e o mesmo vale para múltiplos.

Já a reta $y = 2x + 1$ não é subespaço: nem sequer contém $(0, 0)$.

A interseção de subespaços é sempre um subespaço. A união, em geral, não é.

A união dos dois eixos coordenados em $\mathbb{R}^2$ contém $(1, 0)$ e $(0, 1)$ mas não a soma $(1, 1)$. Para juntar subespaços usa-se a soma $F + G = \{u + v : u \in F, v \in G\}$.

O conjunto $\{(x,y):xy=0\}$ é precisamente essa união dos eixos. Contém o zero e é fechado para múltiplos escalares, mas falha a soma. Passar dois dos testes não chega.

Independência linear

Uma combinação linear de $v_1,\ldots,v_k$ é um vetor $a_1v_1+\cdots+a_kv_k$, com coeficientes reais. O espaço gerado, $\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_k)$, contém todas essas combinações. Por exemplo, $\operatorname{span}((1,0),(0,1))=\mathbb R^2$.

Um conjunto de vetores $\{v_1, v_2, \dots, v_k\}$ é linearmente independente quando a única combinação linear que dá o vetor nulo é a trivial:

$$\alpha_1 v_1 + \alpha_2 v_2 + \dots + \alpha_k v_k = 0 \implies \alpha_1 = \alpha_2 = \dots = \alpha_k = 0.$$

Se existir uma combinação não trivial, os vetores são linearmente dependentes: pelo menos um deles escreve-se como combinação dos outros.

Testa $\{u_1 = (1, 0), u_2 = (1, 1)\}$ em $\mathbb{R}^2$. A equação $\alpha_1(1,0) + \alpha_2(1,1) = (0,0)$ dá o sistema $\alpha_1 + \alpha_2 = 0$, $\alpha_2 = 0$.

A única solução é $\alpha_1 = \alpha_2 = 0$. São independentes.

Por contraste, $(1, 2)$ e $(2, 4)$ são dependentes, porque $2 \cdot (1,2) - 1 \cdot (2,4) = (0,0)$: o segundo é o dobro do primeiro.

Dois vetores independentes e a sua soma desenham sempre um paralelogramo, como o de $u_1$, $u_2$ e $u_1 + u_2$:

Para $n$ vetores de $\mathbb R^n$, o determinante da matriz que os tem como colunas testa a independência: é não nulo exatamente quando os vetores são independentes. Para $(1,0)$ e $(1,1)$, dá 1. Quando a matriz não é quadrada, resolve o sistema homogéneo ou conta os pivôs: a independência exige um pivô em cada coluna.

Há dois factos que orientam a intuição. Qualquer conjunto com mais vetores do que a dimensão do espaço é dependente (em $\mathbb{R}^2$, três vetores são sempre dependentes). E qualquer conjunto que contenha o vetor nulo é dependente, porque podes multiplicar o zero por um escalar não nulo e os restantes por zero.

Se a dúvida é como combinações lineares, espaço gerado e independência se relacionam, vê este vídeo e observa como cada vetor novo ou aumenta o espaço gerado ou já é combinação dos anteriores:

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Bases e dimensão

Os coeficientes dessa escrita única chamam-se coordenadas do vetor na base.

A base mais simples de $\mathbb{R}^n$ é a base canónica: $e_1 = (1, 0, \dots, 0)$, $e_2 = (0, 1, \dots, 0)$, até $e_n$. Qualquer $(x_1, \dots, x_n)$ escreve-se $x_1 e_1 + \dots + x_n e_n$, e as coordenadas na base canónica são as próprias componentes.

O subespaço $\{0\}$ tem dimensão 0 e base vazia. O vetor zero não é uma base dele, porque não é independente. Todas as bases de um mesmo espaço de dimensão finita têm o mesmo número de vetores. Esse número é a dimensão do espaço: $\dim \mathbb{R}^n = n$. Daqui saem dois critérios práticos muito usados nos exercícios:

• para mostrar que $n$ vetores formam uma base de $\mathbb{R}^n$, basta mostrar que são independentes (ou que geram; uma das condições chega quando o número de vetores iguala a dimensão);
• a dimensão de um subespaço é o número de vetores de qualquer base dele. Se estiver definido por um sistema homogéneo, conta as variáveis livres; se estiver definido por geradores, conta os pivôs da matriz das colunas.

Exemplo: qual é a dimensão do plano $x + y + z = 0$ em $\mathbb{R}^3$?

Fazendo $y = s$, $z = t$, obtemos $x = -s - t$. Logo os pontos são $s(-1, 1, 0) + t(-1, 0, 1)$.

Os dois vetores geram o plano e são independentes (nenhum é múltiplo do outro), por isso formam uma base e a dimensão é 2. Em geral, cada equação independente “retira” uma dimensão.

Obter uma base a partir de geradores

Considera $v_1=(1,0,1)$, $v_2=(0,1,1)$ e $v_3=(1,1,2)$. Para obter uma base de $U=\operatorname{span}(v_1,v_2,v_3)$, coloca os vetores em colunas e elimina:

$$\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\1&1&2\end{bmatrix} \ \xrightarrow{L_3\leftarrow L_3-L_1-L_2}\ \begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&1\\0&0&0\end{bmatrix}.$$

Há pivôs nas colunas 1 e 2. A base é formada pelas colunas 1 e 2 da matriz original, ou seja, $(v_1,v_2)$.

A terceira não acrescenta uma direção: $v_3=v_1+v_2$.

O espaço tem dimensão 2 e admite duas descrições equivalentes:

$$U=\{s(1,0,1)+t(0,1,1):s,t\in\mathbb R\} =\{(x,y,z):z=x+y\}.$$

Para testar se $w=(2,-1,1)$ pertence a $U$, resolvemos $sv_1+tv_2=w$. As duas primeiras coordenadas dão $s=2,t=-1$; a terceira confirma $s+t=1$. Logo $w=2v_1-v_2$, enquanto $(2,-1,0)$ não pertence ao plano, pois $2+(-1)\ne0$.

Operações de linhas preservam as relações de dependência entre colunas, mas não preservam os próprios vetores coluna. As colunas $(1,0,0)$ e $(0,1,0)$ da forma reduzida não são uma base de $U$.

Obter uma base a partir de equações

No subespaço $W=\{(x,y,z,w):x+y-z=0,\ y+w=0\}$, escolhe $z=s$ e $w=t$. A segunda equação dá $y=-t$ e a primeira dá $x=s+t$:

$$(x,y,z,w)=s(1,0,1,0)+t(1,-1,0,1).$$

Os dois vetores geram $W$. Também são independentes: a terceira coordenada de uma combinação nula obriga $s=0$ e a quarta obriga $t=0$. Assim, esta é uma base e $\dim W=2$.

Depois de parametrizar, confirma a independência. Um conjunto de geradores pode conter repetições ou vetores redundantes.

Soma, interseção e soma direta

Para subespaços $U,V$ de dimensão finita,

$$\dim(U+V)=\dim U+\dim V-\dim(U\cap V).$$

Subtraímos a dimensão da interseção porque essas direções foram contadas nos dois espaços. Por exemplo, em $\mathbb R^3$, os planos $U=\{z=0\}$ e $V=\{y=0\}$ têm dimensão 2. A interseção é o eixo $x$, de dimensão 1. A soma tem dimensão $2+2-1=3$ e é todo o espaço.

Para calcular uma interseção por equações, junta as condições dos dois espaços. Se ambos estiverem dados por geradores, resolve $\sum a_i u_i=\sum b_j v_j$ e converte os coeficientes obtidos em vetores da interseção. Por exemplo, com $U=\operatorname{span}((1,1,0),(1,0,1))$ e $V=\operatorname{span}((1,0,0),(0,1,1))$, a igualdade $a(1,1,0)+b(1,0,1)=c(1,0,0)+d(0,1,1)$ dá $(a+b,a,b)=(c,d,d)$. Logo $a=d$, $b=d$ e $c=2d$: a interseção é $\operatorname{span}((2,1,1))$, de dimensão 1, e $\dim(U+V)=2+2-1=3$.

A soma é direta, $U\oplus V$, quando $U\cap V=\{0\}$. Neste caso, a escrita $w=u+v$ é única. Em $\mathbb R^2$, os eixos coordenados dão uma soma direta. Os dois planos do exemplo anterior não dão, porque partilham o eixo $x$.

Demonstração da fórmula das dimensões

Escolhe uma base $(w_1,\ldots,w_r)$ de $U\cap V$. Completa-a a uma base de $U$, acrescentando $u_1,\ldots,u_p$, e a uma base de $V$, acrescentando $v_1,\ldots,v_q$. A família

$$(w_1,\ldots,w_r,u_1,\ldots,u_p,v_1,\ldots,v_q)$$

gera $U+V$: qualquer soma de um vetor de $U$ e outro de $V$ escreve-se com estes vetores. Falta provar que é independente; apenas contar vetores não chega.

Numa combinação nula, separa as parcelas:

$$\sum_j c_jv_j=-\sum_i a_iw_i-\sum_k b_ku_k.$$

O lado esquerdo está em $V$ e o direito em $U$, por isso o vetor comum pertence a $U\cap V$. Pode escrever-se como $\sum_i d_iw_i$. A independência da base de $V$, formada pelos $w_i$ e $v_j$, obriga todos os $c_j$ e $d_i$ a zero. A combinação que resta usa a base de $U$, logo também todos os $a_i,b_k$ são zero.

A família é, portanto, uma base da soma. Contando os seus vetores:

$$\dim(U+V)=r+p+q.$$

Como $\dim U=r+p$, $\dim V=r+q$ e $\dim(U\cap V)=r$, obtemos a fórmula. O argumento também vale quando alguma destas listas é vazia, incluindo uma interseção igual a $\{0\}$.

Completar uma base

Para estender $(v_1,v_2)$ do plano $z=x+y$ a uma base de $\mathbb R^3$, acrescenta um vetor fora desse plano. O vetor $e_3=(0,0,1)$ serve:

$$\det[v_1\ v_2\ e_3]= \det\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\1&1&1\end{bmatrix}=1.$$

Os três vetores são independentes e, sendo três em $\mathbb R^3$, formam uma base. Acrescentar $v_3$ não serviria, porque já pertence ao plano.

Coordenadas numa base

Se $B = (b_1, b_2, \dots, b_n)$ é uma base ordenada e $v = \alpha_1 b_1 + \dots + \alpha_n b_n$, escreve-se $[v]_B=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)^T$, uma coluna pela ordem da base. Também usamos $v_B$ para estas coordenadas.

Com a base $B=((1,1),(1,-1))$ de $\mathbb R^2$, procuramos os coeficientes de $v=(3,1)$:

$$(3,1)=a(1,1)+b(1,-1) \quad\Longleftrightarrow\quad \begin{cases}a+b=3\\a-b=1.\end{cases}$$

Somar as equações dá $2a=4$, logo $a=2$. Subtraí-las dá $2b=2$, logo $b=1$. Portanto, $[v]_B=(2,1)^T$. As componentes canónicas $(3,1)$ e as coordenadas $(2,1)$ em $B$ descrevem o mesmo vetor. A página de mudanças de base mostra como reutilizar esta resolução para qualquer vetor.

Polinómios e matrizes como vetores

As mesmas operações também se aplicam a objetos que não são setas. O espaço $P_2(\mathbb R)$ contém os polinómios de grau no máximo 2, incluindo o polinómio zero. A soma e o produto por escalar conservam esse limite de grau. A família $(1,t,t^2)$ é uma base: cada polinómio escreve-se de forma única como $a+bt+ct^2$. Assim, a dimensão é 3 e as coordenadas de $2-t+3t^2$ nessa base são $(2,-1,3)^T$.

Os polinómios de grau exatamente 2 não formam um subespaço. Por exemplo, $t^2$ e $-t^2$ pertencem ao conjunto, mas a soma é zero, que não tem grau 2. A condição «no máximo» faz parte da definição de $P_2$.

No espaço das matrizes reais $2\times2$, uma base é dada pelas quatro matrizes com uma entrada 1 e as outras zero. A matriz $\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$ tem coordenadas $(a,b,c,d)^T$ nessa ordem, por isso o espaço tem dimensão 4. Obter bases por equações ou geradores continua a exigir as mesmas decisões: escrever combinações, testar independência e contar parâmetros.

O que costuma correr mal

• Chamar subespaço a um conjunto que não contém o zero, como uma reta ou plano deslocado da origem.
• Confundir “gerar” com “ser independente”: gerar diz que chegas a todo o lado, independência diz que não há vetores a mais. Base é as duas coisas.
• Afirmar independência sem resolver o sistema $\alpha_1 v_1 + \dots = 0$. Intuição geométrica (“apontam para lados diferentes”) ajuda, mas a prova é a conta.
• Esquecer que as coordenadas dependem da base e comparar coordenadas calculadas em bases diferentes.