Determinantes

A matriz $C=\begin{bmatrix}2&1\\1&3\end{bmatrix}$ da lição de matrizes tem inversa porque $2\cdot3-1\cdot1=5\ne0$.

Este número é o seu determinante. Para uma matriz quadrada, um determinante não nulo garante invertibilidade. O módulo mede também o fator de escala de áreas ou volumes.

Definição para ordens 2 e 3

Para uma matriz $2 \times 2$, o determinante é a diferença dos produtos das diagonais:

$$\det \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = ad - bc.$$

Por exemplo, $\det \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = 2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 5$, o número que já usámos na fórmula da inversa.

Para ordem 3, uma forma prática é a regra de Sarrus: repete as duas primeiras colunas à direita e soma os produtos das três diagonais descendentes, subtraindo os produtos das três diagonais ascendentes. Para

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{bmatrix},$$

as descendentes dão $1 \cdot 1 \cdot 0 + 2 \cdot 4 \cdot 5 + 3 \cdot 0 \cdot 6 = 40$ e as ascendentes dão $3 \cdot 1 \cdot 5 + 1 \cdot 4 \cdot 6 + 2 \cdot 0 \cdot 0 = 39$.

Logo $\det A = 40 - 39 = 1$.

Atenção: Sarrus só funciona para ordem 3. Para ordens maiores (ou para demonstrar propriedades), usa-se a definição geral por regra de Laplace, que expande o determinante ao longo de uma linha ou coluna (ver abaixo).

Propriedades que poupam trabalho

Estas regras valem para matrizes quadradas reais de ordem positiva. Nos produtos, $A$ e $B$ têm a mesma ordem:

• $\det I_n = 1$ e $\det 0 = 0$.
• Trocar duas linhas (ou colunas) troca o sinal do determinante.
• Multiplicar uma linha por $k$ multiplica o determinante por $k$. Consequência muito usada: $\det(kA) = k^n \det A$ para matrizes de ordem $n$.
• Somar a uma linha um múltiplo de outra não altera o determinante. É a autorização para triangular a matriz antes de calcular.
• Uma matriz com uma linha nula, com duas linhas iguais ou com uma linha combinação linear das outras tem determinante zero.
• $\det(A^T) = \det A$ e $\det(AB) = \det A \cdot \det B$.¹
• $A$ é invertível exatamente quando $\det A \neq 0$, e nesse caso $\det(A^{-1}) = 1 / \det A$.

A estratégia habitual para um determinante $3 \times 3$ cheio de números é criar zeros com operações do tipo “somar um múltiplo de outra linha” e só depois expandir ou aplicar Sarrus. Cada zero elimina uma parcela.

Regra de Laplace e matriz adjunta

Escolhe uma linha ou coluna. Para cada entrada $a_{ij}$, risca a sua linha e coluna:

• o que resta é a submatriz $M_{ij}$;
• o seu determinante $\det M_{ij}$ chama-se menor;
• o cofator é $C_{ij} = (-1)^{i+j} \det M_{ij}$, com o sinal do tabuleiro de xadrez $\begin{smallmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{smallmatrix}$.

O determinante é a soma dos produtos das entradas pelos respetivos cofatores:

$$\det A = a_{i1}C_{i1} + a_{i2}C_{i2} + \dots + a_{in}C_{in}.$$

Vê com a matriz $A$ acima, expandindo pela primeira coluna (que tem um zero simpático em $a_{21} = 0$):

$$\det A = 1 \cdot \det\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{bmatrix} - 0 \cdot (\dots) + 5 \cdot (-1)^{3+1}\det\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}.$$

Isto dá $1 \cdot (0 - 24) + 5 \cdot (8 - 3) = -24 + 25 = 1$.

Confirma o valor obtido por Sarrus. Uma linha ou coluna com mais zeros costuma reduzir a conta: cada zero elimina uma parcela inteira da expansão.

A matriz dos cofatores, transposta, chama-se matriz adjunta, $\operatorname{adj}(A)$, e dá a inversa de qualquer matriz invertível:

$$A^{-1} = \frac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A).$$

Para $2 \times 2$ isto reproduz a fórmula $\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ da página de matrizes. Para $3 \times 3$ a adjunta já dá bastante trabalho, por isso nos exercícios o método de Gauss-Jordan costuma ser mais rápido para inverter; a adjunta é sobretudo uma ferramenta teórica.

Uma propriedade que permite confirmar a adjunta é

$$A\operatorname{adj}(A)=\operatorname{adj}(A)A=(\det A)I.$$

Na matriz $A$ do exemplo, a matriz dos cofatores é

$$C=\begin{bmatrix}-24&20&-5\\18&-15&4\\5&-4&1\end{bmatrix}.$$

Como $\det A=1$, a inversa é a transposta desta matriz:

$$A^{-1}=C^T=\begin{bmatrix}-24&18&5\\20&-15&-4\\-5&4&1\end{bmatrix}.$$

Por exemplo, a entrada $(1,1)$ de $AA^{-1}$ é $-24+40-15=1$, e a entrada $(1,2)$ é $18-30+12=0$. Os cofatores sem transposição não dariam a inversa.

Regra de Cramer

Se $AX = B$ tem matriz quadrada com $\det A \neq 0$, cada incógnita obtém-se por um quociente de determinantes: $x_j$ é o determinante da matriz que resulta de substituir a coluna $j$ de $A$ pela coluna $B$, a dividir por $\det A$.

Exemplo: $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x + 3y = 11 \end{cases}$. O determinante do sistema é $2 \cdot 3 - 1 \cdot 1 = 5$. Então

$$x = \frac{\det\begin{bmatrix} 7 & 1 \\ 11 & 3 \end{bmatrix}}{5} = \frac{21 - 11}{5} = 2, \qquad y = \frac{\det\begin{bmatrix} 2 & 7 \\ 1 & 11 \end{bmatrix}}{5} = \frac{22 - 7}{5} = 3.$$

Cramer é elegante, mas só se aplica a sistemas quadrados com determinante não nulo e o custo cresce depressa: para um $3 \times 3$ precisas de quatro determinantes. Na prática, Gauss resolve mais depressa; Cramer brilha quando só precisas de uma incógnita ou quando os coeficientes dependem de um parâmetro.

Determinante por eliminação

Para triangular por eliminação, considera

$$B=\begin{bmatrix}0&2&1\\1&1&0\\2&3&4\end{bmatrix}.$$

Trocamos $L_1$ com $L_2$, fazemos $L_3\leftarrow L_3-2L_1$ e, depois, $L_3\leftarrow L_3-\frac12L_2$:

$$B\ \longrightarrow\ \begin{bmatrix}1&1&0\\0&2&1\\0&1&4\end{bmatrix} \ \longrightarrow\ \begin{bmatrix}1&1&0\\0&2&1\\0&0&7/2\end{bmatrix}.$$

A triangular tem determinante $1\cdot2\cdot7/2=7$. Houve uma troca de linhas, por isso $\det B=-7$. As somas de múltiplos não alteraram o determinante. Se também multiplicasses uma linha por um escalar, terias de registar esse fator.

Para estudar invertibilidade com um parâmetro, mantém a expressão do determinante fatorizada. Por exemplo,

$$A_k=\begin{bmatrix}1&1&1\\1&k&1\\1&1&k\end{bmatrix}, \qquad \det A_k=(k-1)^2.$$

Subtrair a primeira linha às outras duas produz uma triangular com diagonal $1,k-1,k-1$. A matriz é invertível exatamente quando $k\ne1$. Se $k=1$, todas as linhas coincidem e a característica é 1, não 2.

O determinante como área e volume

Em $\mathbb{R}^2$, o módulo do determinante $2 \times 2$ é a área do paralelogramo definido pelos dois vetores coluna (ou linha). Os vetores $(2, 0)$ e $(1, 3)$ definem um paralelogramo de área $|2 \cdot 3 - 0 \cdot 1| = 6$:

Em $\mathbb{R}^3$, o módulo do determinante $3 \times 3$ é o volume do paralelepípedo definido pelos três vetores. O sinal também tem significado: diz se a orientação dos vetores é preservada ou invertida.

Isto explica por que $\det A = 0$ significa matriz não invertível: as colunas são linearmente dependentes (vais ver o que isto quer dizer na página de espaços vetoriais), por isso “achatam” o espaço e o volume colapsa para zero.

Uma matriz com determinante nulo não consegue ser bijetiva, logo não tem inversa.

O que costuma correr mal

• Aplicar Sarrus a matrizes de ordem 4 ou mais. Não existe Sarrus para $n \geq 4$: usa Laplace ou triangularização.
• Errar os sinais dos cofatores, sobretudo esquecer o $(-1)^{i+j}$ nas posições ímpares.
• Pensar que $\det(A + B) = \det A + \det B$. É falso; o determinante não é linear na soma de matrizes.
• Usar Cramer quando o determinante do sistema é zero, ou quando o sistema nem sequer é quadrado.
• Confundir $\det(kA) = k^n \det A$ com $k \det A$ para matrizes de ordem $n > 1$.

Notas de rodapé

1. Esta igualdade é a razão geométrica por trás de tudo: aplicar $B$ e depois $A$ multiplica volumes por $|\det B|$ e $|\det A|$. O sinal do determinante regista a orientação. Em particular, $\det(A^2) = (\det A)^2 \geq 0$. Voltar