Álgebra Linear e Geometria Analítica
Um percurso de cálculo, geometria e justificação para matrizes, espaços vetoriais, aplicações lineares e diagonalização.
Um sistema linear descreve um conjunto de soluções. As bases permitem representar esse conjunto; as matrizes representam aplicações entre espaços; uma base de vetores próprios pode simplificar a aplicação até uma matriz diagonal. O percurso segue estas relações, com cálculo e justificação em cada etapa.
Percurso
| Etapa | O que deves conseguir fazer |
|---|---|
| Matrizes | Verificar dimensões, operar, inverter e resolver equações matriciais |
| Sistemas lineares | Eliminar, discutir parâmetros e escrever todas as soluções |
| Determinantes | Usar Laplace, propriedades, adjunta e Cramer com as condições certas |
| Espaços vetoriais | Provar que um conjunto é subespaço, obter bases e calcular soma e interseção |
| Produtos de vetores | Calcular comprimentos, ângulos, normais, áreas e volumes |
| Ortogonalidade | Aplicar Gram-Schmidt, normalizar e projetar num subespaço |
| Retas e planos | Construir equações, decidir posições relativas e calcular distâncias |
| Aplicações lineares | Encontrar lei, matriz, núcleo, imagem e composição |
| Mudanças de base | Distinguir coordenadas e usar bases diferentes nos dois lados de uma aplicação |
| Valores próprios | Calcular espaços próprios, decidir diagonalização e usar potências |
| Formas quadráticas (opcional) | Retirar termos cruzados e reconhecer cónicas e quádricas |
A ficha atual marca o teorema espectral e a aplicação a cónicas e quádricas como opcionais, caso haja tempo. A ortogonalização desenvolve o produto escalar e permite resolver os problemas de bases ortogonais das provas históricas. Confirma com a equipa docente o âmbito da tua avaliação.
Estudar com papel ao lado
Refaz primeiro um exemplo completo sem olhar para a solução. Depois resolve um exercício em que muda uma condição, como um parâmetro que anula um pivô ou um valor próprio repetido. Escreve a justificação antes das contas, porque a decisão vem primeiro.
No fim, confirma o resultado na expressão original: substitui a solução no sistema, multiplica a inversa ou verifica . A cheat sheet reúne fórmulas e condições para consulta rápida.
Avaliação em 2026/27
A ficha oficial, verificada em 3 de outubro de 2026, prevê dois testes de 10 valores. A nota final é a soma. No recurso existem duas partes independentes. Para aprovação, podes realizar uma parte e conservar a nota da outra; para melhoria, realizas ambas. Não existe condição de frequência. Confirma datas e indicações operacionais na tua edição.
Fontes e âmbito
A ficha de L.EIC001 acima é a referência atual para o programa e a avaliação. O Moodle indicado nessa ficha estava indisponível para esta conta na recolha de 1 de outubro de 2026.
A bibliografia obrigatória mantém Elementary Linear Algebra, de Howard Anton; Álgebra Linear como Introdução à Matemática Aplicada, de Luís T. Magalhães; e Álgebra Linear e Geometria Analítica, de António Monteiro. O catálogo da biblioteca está ligado na ficha oficial.
Para desenvolver as explicações, consultámos a sebenta FEUP Álgebra, de Ana Maria Mendonça e Maria Cristina Ribeiro, 2007/08; a ficha Matrizes e Determinantes FEUP de 2004/05; a ficha de subespaços de 7–11 nov 2016; a ficha de produtos vetorial e misto de 14–18 nov 2016; o exercício extra de subespaços de 2015/16; a geometria de António Ferreira de 2020–2021; acetatos de matrizes, transformações lineares, mudanças de base e produto vetorial/misto sem ano interno confirmado; o MT4 de 2006/07 e o recurso MT2 de 14 abr 2021. Estes materiais são históricos. A revisão também consultou a lista de exercícios L.EIC001 de 2023/24, os testes de novembro e dezembro de 2023 e o recurso de 22 de janeiro de 2024, disponíveis através de Accio. As cópias conservam os cabeçalhos universitários; a data vem do documento, não da sua publicação no arquivo. Os exercícios são próprios ou adaptações identificadas nos metadados dos conjuntos. Apontamentos e resoluções de estudantes servem de apoio, com conferência independente das contas.
Como apoio aberto, o livro Linear Algebra, 4.ª edição, de Jim Hefferon, inclui respostas, laboratório e slides, guardados no arquivo local. Para uma segunda explicação, há Interactive Linear Algebra e as aulas 18.06 do MIT.
Os vídeos de 3Blue1Brown aparecem junto dos conceitos que ajudam a visualizar: combinações e bases, transformações e valores próprios. Para conferir contas, podes usar a calculadora de matrizes Desmos.
Vídeos para acompanhar o estudo
Os vídeos vivem nas lições, junto do conceito que ajudam a visualizar: