Retas e planos

A geometria analítica traduz retas e planos para equações com vetores, e usa os produtos de vetores para estudar posições e distâncias.

Separa sempre duas peças: um ponto que fixa a posição e um vetor que fixa a orientação.

Retas: ponto mais direção

Uma reta fica definida por um ponto $P_0$ e um vetor direção $d \neq 0$. A equação vetorial é $P = P_0 + t\,d$, com $t \in \mathbb{R}$.

Quando $t$ varia, percorres todos os pontos da reta.

Com $P_0 = (1, 2, 3)$ e $d = (1, -1, 2)$, a equação paramétrica separa as coordenadas:

$$\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases} \qquad t \in \mathbb{R}.$$

Para $t = 0$ estás em $P_0$; para $t = 1$ chegas a $(2, 1, 5)$.

Eliminando $t$ obténs a equação cartesiana, que no espaço é um sistema de duas equações. Cada uma é um plano, e a reta é a sua interseção:

$$\frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{-1} = \frac{z - 3}{2}.$$

Se alguma componente da direção for zero, não podes dividir por ela:

• com uma componente nula, escreve a coordenada fixa correspondente, como $x=1$;
• com duas componentes não nulas, iguala as suas frações;
• com só uma, as outras duas coordenadas ficam fixas e essa varia livremente.

No plano ($\mathbb{R}^2$), uma reta também se escreve na forma familiar $ax + by = c$, com $(a,b)\ne(0,0)$, onde $(a, b)$ é um vetor normal à reta.

Planos: ponto mais normal

Um plano fica definido por um ponto $P_0$ e um vetor normal $n \neq 0$ (perpendicular ao plano). Um ponto $P = (x, y, z)$ pertence ao plano exatamente quando $(P - P_0) \cdot n = 0$.

Esta condição dá a equação cartesiana $ax + by + cz = d$.

Exemplo: o plano que passa por $(1, 0, 0)$, $(0, 1, 0)$ e $(0, 0, 1)$. Dois vetores do plano são $v_1 = (-1, 1, 0)$ e $v_2 = (-1, 0, 1)$.

A normal é o produto vetorial $n = v_1 \times v_2 = (1, 1, 1)$, com atenção ao sinal da segunda componente. O plano é $x + y + z = d$. Substituindo $(1, 0, 0)$, obténs $d = 1$:

$$x + y + z = 1.$$

Os outros dois pontos confirmam a equação, e o plano também admite equação paramétrica $P = P_0 + s\,u + t\,v$ com dois vetores diretores independentes, aqui por exemplo $P = (1, 0, 0) + s(-1, 1, 0) + t(-1, 0, 1)$.

Posições relativas

Duas retas no espaço podem ser concorrentes (intersetam-se num ponto), paralelas (direções proporcionais, sem pontos comuns), coincidentes ou enviesadas (nem se intersetam nem são paralelas; isto só acontece em $\mathbb{R}^3$). O teste segue uma ordem:

1. compara as direções;
2. se forem proporcionais, testa se um ponto de uma pertence à outra: sim dá coincidentes, não dá paralelas;
3. se não forem, resolve o sistema conjunto: com solução dá concorrentes, sem solução dá enviesadas.

Para reta e plano, substitui a paramétrica da reta na equação do plano. Com a reta $P = (1, 2, 3) + t(1, -1, 2)$ e o plano $x + y + z = 1$:

$$(1 + t) + (2 - t) + (3 + 2t) = 1 \iff 6 + 2t = 1 \iff t = -\frac{5}{2}.$$

Há exatamente uma solução: a reta fura o plano no ponto $(-3/2,\, 9/2,\, -2)$.

Se a substituição desse $0 = 0$, a reta estaria contida no plano. Se desse $6 = 1$, seria paralela a ele. O mesmo método resolve interseções de dois planos (em geral uma reta) e de três planos (que é simplesmente um sistema $3 \times 3$).

Em diagrama, a decisão é sempre a mesma:

Distâncias

A distância de um ponto $P_0$ a um plano $ax + by + cz = d$ é

$$\operatorname{dist} = \frac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 - d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.$$

A ideia: projeta o vetor de um ponto qualquer do plano até $P_0$ sobre a direção normal. Para o ponto $(1, 2, 3)$ e o plano $x + y + z = 1$:

$$\operatorname{dist} = \frac{|1 + 2 + 3 - 1|}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}.$$

A distância entre dois planos paralelos reduz-se a este caso (escolhe um ponto de um e mede até ao outro). As outras duas fórmulas seguem a mesma ideia de área e volume:

• ponto a reta: $\operatorname{dist} = \|(P_0 - Q) \times d\| / \|d\|$, onde $Q$ é um ponto da reta e $d$ a sua direção (área do paralelogramo a dividir pela base);
• retas enviesadas: módulo do produto misto de (direção 1, direção 2, vetor que une um ponto de cada) a dividir por $\|d_1 \times d_2\|$ (volume do paralelepípedo a dividir pela área da base dá a altura, que é precisamente a distância).

Exemplo numérico com a fórmula ponto a reta: distância de $P_0 = (2, 3, 4)$ à reta $Q + td$ com $Q = (0, 0, 1)$ e $d = (1, 0, 0)$. Primeiro $P_0 - Q = (2, 3, 3)$; depois $(2, 3, 3) \times (1, 0, 0) = (0, 3, -3)$, de norma $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$; como $\|d\| = 1$, a distância é $3\sqrt{2}$.

Ângulos entre objetos

O ângulo entre vetores orientados não nulos varia de $0$ a $\pi$ e usa $\cos\theta=(u\cdot v)/(\|u\|\|v\|)$. Para o menor ângulo entre duas retas, usamos o módulo:

$$\cos\theta=\frac{|d_1\cdot d_2|}{\|d_1\|\|d_2\|}, \qquad 0\leq\theta\leq\frac\pi2.$$

Entre dois planos, a mesma fórmula usa as normais. Entre uma reta de direção $d$ e um plano de normal $n$,

$$\sin\alpha=\frac{|d\cdot n|}{\|d\|\|n\|}, \qquad 0\leq\alpha\leq\frac\pi2.$$

É seno porque o ângulo com o plano é complementar do ângulo com a normal. A direção da reta é paralela ao plano quando $d\cdot n=0$, incluindo o caso em que a reta está contida nele, e perpendicular quando $d$ é paralelo a $n$. Por exemplo, $d=(1,0,1)$ e $n=(0,0,1)$ dão $\sin\alpha=1/\sqrt2$, logo $\alpha=45^\circ$.

Ponto mais próximo e reflexão

No plano $n\cdot X=c$, o ponto mais próximo de $P$ é

$$H=P-\frac{n\cdot P-c}{n\cdot n}n.$$

O segmento $PH$ é perpendicular ao plano e $H$ verifica a sua equação. Para $P=(1,2,3)$ e $x+y+z=1$, obtemos

$$H=(1,2,3)-\frac53(1,1,1)=(-2/3,1/3,4/3),$$

cujas coordenadas somam 1, como a equação do plano exige. O ponto refletido em relação ao plano é $P'=2H-P=(-7/3,-4/3,-1/3)$. O plano passa pelo ponto médio de $P,P'$.

Na reta $Q+td$, o pé da perpendicular é

$$H=Q+\frac{(P-Q)\cdot d}{d\cdot d}d.$$

Esta fórmula também funciona em $\mathbb R^2$, onde não precisamos de produto vetorial. A distância é $\|P-H\|$. Todas as fórmulas de distância desta página são a norma de um erro $P-H$ com $H$ calculado por projeção; as fórmulas por área e volume são atalhos para esse mesmo comprimento.

Duas retas no espaço

Para $r=P+td_1$ e $s=Q+ud_2$ com direções independentes, o produto misto

$$(Q-P)\cdot(d_1\times d_2)$$

decide a coplanaridade. Se for zero, as retas são coplanares e, como não são paralelas, são concorrentes. Se for não nulo, são enviesadas, e a distância é

$$\operatorname{dist}(r,s)= \frac{|(Q-P)\cdot(d_1\times d_2)|}{\|d_1\times d_2\|}.$$

Na reta $r=(t,0,0)$ e na reta $s=(0,u,2)$, as direções são $e_1,e_2$, a normal comum é $e_3$ e o produto misto vale 2, logo a distância é 2. Em geral, os parâmetros dos pontos mais próximos resolvem $(P+td_1-(Q+ud_2))\cdot d_1=0$ e $(P+td_1-(Q+ud_2))\cdot d_2=0$: o segmento mais curto é perpendicular às duas direções. O exercício de pontos mais próximos na página de prática resolve esse sistema $2\times2$ num caso não trivial. Se as direções fossem paralelas, o denominador seria zero e teríamos de usar a distância de um ponto de uma reta à outra.

Construir e intersetar planos

Um plano que contém $r=P+td$ e um ponto $Q$ fora da reta tem normal $d\times(Q-P)$. Se $Q$ estiver na reta, o produto é zero: há vários planos possíveis.

Dois planos com normais independentes intersetam-se numa reta de direção $n_1\times n_2$. Encontra um ponto da reta resolvendo as duas equações com uma incógnita escolhida como parâmetro. Por exemplo,

$$x+y+z=1,\qquad x-y=0 \quad\Longrightarrow\quad (x,y,z)=(t,t,1-2t).$$

A direção $(1,1,-2)$ é perpendicular às duas normais $(1,1,1)$ e $(1,-1,0)$. Se as normais forem proporcionais, os planos são coincidentes ou paralelos distintos; compara também os termos independentes.

O que costuma correr mal

• Confundir vetor direção com vetor normal: a reta usa a direção ao longo dela, o plano usa a normal perpendicular. Trocar um pelo outro dá o objeto perpendicular ao pretendido.
• Dividir por uma componente nula da direção ao escrever a equação cartesiana da reta.
• Classificar duas retas como paralelas só porque “não se intersetam”: no espaço podem ser enviesadas. Segue a ordem do teste (direções primeiro).
• Esquecer o módulo ou a normalização nas fórmulas de distância, ou aplicar a fórmula do plano com a equação ainda não na forma $ax + by + cz = d$.