Exercícios MT1

$a=-6$ e $b=-1$.

Multiplicando, $A^2=\begin{pmatrix}1+a/3&1/3+b/3\\a+ab&a/3+b^2\end{pmatrix}$. Igualando a $-I_2$, obtém-se $1+a/3=-1$, logo $a=-6$, e $1/3+b/3=0$, logo $b=-1$. As restantes entradas também ficam corretas: $-6+6=0$ e $-2+1=-1$.

$BC=\begin{pmatrix}4&6&5\\1&1&1\end{pmatrix}$.

Cada entrada é o produto interno da linha de $B$ com a coluna de $C$. Na primeira linha: $(-1)\cdot1+2\cdot1+3\cdot1=4$, $(-1)\cdot1+2\cdot2+3\cdot1=6$ e $(-1)\cdot1+2\cdot3+3\cdot0=5$. Na segunda, como $B$ só tem o primeiro elemento não nulo, a linha repete a primeira linha de $C$.

$a=3$, $b=-2$, $c=1$ e o conjunto solução é $\{(3,-2,1)\}$.

Subtraindo a primeira equação às outras, obtém-se $2y+2z=-2$ e $2y+5z=1$. Da primeira, $y+z=-1$; substituindo na segunda, $3z=3$, logo $z=1$, $y=-2$ e $x=3$.

A afirmação é verdadeira.

$\det(H)=1(18-9)-1(6-3)+1(3-3)=6\neq0$. Como a matriz dos coeficientes é invertível, qualquer segundo membro produz uma única solução.

Matriz reduzida: $\begin{pmatrix}1&0&0&3\\0&1&1&-1\\0&0&0&0\end{pmatrix}$. Conjunto solução: $\{(3,-1-z,z):z\in\mathbb R\}$.

Depois de eliminar a primeira coluna, as duas últimas equações ficam iguais: $2y+2z=-2$, ou $y+z=-1$. A primeira equação dá então $x=3$. A variável $z$ fica livre e $y=-1-z$.

$m_{13}=-2$, $m_{23}=4$ e $m_{33}=-2$.

Para a coluna 3, $m_{13}=+\det\begin{pmatrix}3&4\\5&6\end{pmatrix}=18-20=-2$, $m_{23}=-\det\begin{pmatrix}1&2\\5&6\end{pmatrix}=-(6-10)=4$ e $m_{33}=+\det\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}=4-6=-2$.

$c=-4$.

Expandindo ao longo da primeira coluna, $\det(F)=1\cdot(-15+27)-c\cdot(15-18)=12+3c$. Assim, $\det(F)=0$ quando $c=-4$.

$\det(2G)=40$ e $\det(2G^{-1})=8/5$.

Para uma matriz $3\times3$, $\det(2G)=2^3\det(G)=8\cdot5=40$. Além disso, $\det(2G^{-1})=2^3\det(G^{-1})=8/5$.

$\det(J)=-1$.

$\det(J)=1\cdot(+1)\det\begin{pmatrix}1&3\\1&0\end{pmatrix}+2\cdot(+1)\det\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}+1\cdot(-1)\det\begin{pmatrix}1&1\\1&3\end{pmatrix}=3-2-2=-1$.

$a=3$ e $b=-4$.

Uma normal ao plano é o produto vetorial $(2,-3,-3)\times(0,3,2)=(3,-4,6)$. A equação é $3x-4y+6z=0$, pelo que $a=3$ e $b=-4$.

$c=0$ e $d=-3$.

Todos os pontos da reta são múltiplos de $(0,-2,6)$, portanto $x=0$. Para $y=-2$ tem-se $z=6$, logo $6=d(-2)$ e $d=-3$.

Como $(2,-4,6)=2(1,-2,3)$, o segundo vetor já pertence ao subespaço gerado pelo primeiro.

Se um dos geradores é combinação linear dos restantes, pode ser retirado sem alterar o subespaço gerado. Neste caso, os dois vetores são colineares.

Se $M=N$, então $\dim(M+N)=\dim(M\cap N)=1$. Se $M\neq N$, então $\dim(M+N)=2$ e $\dim(M\cap N)=0$.

Duas retas pela origem ou coincidem ou geram um plano. No primeiro caso a soma e a interseção são a própria reta. No segundo, a soma tem dimensão 2 e a interseção só contém o vetor nulo. A fórmula $\dim(M+N)=\dim M+\dim N-\dim(M\cap N)$ confirma ambos os casos.