Espaços vetoriais, bases e dimensão

Subespaços e espaço gerado

Um subconjunto é subespaço se contém o zero e é fechado para soma e multiplicação por qualquer escalar real.

• Equações lineares homogéneas definem subespaços. Um plano deslocado sem a origem falha logo o teste do zero.
• $\operatorname{span}(v_1,\ldots,v_k)$ são todas as combinações $\sum_i a_iv_i$, com $a_i\in\mathbb R$.
• A interseção de subespaços é subespaço. A união pode falhar: os eixos contêm $(1,0)$ e $(0,1)$, mas não $(1,1)$.

Independência, bases e dimensão

Os vetores $v_1,\ldots,v_k$ são independentes se $\sum_i a_iv_i=0$ obrigar $a_1=\cdots=a_k=0$.

Uma base gera o espaço e é independente; cada vetor tem escrita única nela. A dimensão é o número de vetores de qualquer base finita.

• Coloca os vetores em colunas: há independência se houver um pivô por coluna. Para $n$ vetores de $\mathbb R^n$, equivale a determinante não nulo.
• Mais vetores do que a dimensão, ou uma família com zero, implicam dependência.
• Com $n$ vetores em dimensão $n$, basta independência ou geração para ser base.
• $\{0\}$ tem dimensão 0 e base vazia.

Obter e completar bases

Descrição do subespaço	Método
Geradores	Elimina a matriz das colunas. Escolhe as colunas originais nas posições dos pivôs
Equações homogéneas $Ax=0$	Parametriza pelas variáveis livres e recolhe os vetores dos parâmetros; a dimensão é $n-\operatorname{car}(A)$
Testar pertença de $w$ a geradores	Resolve $\sum_i a_iv_i=w$
Completar uma base	Acrescenta vetores fora do espaço já gerado até atingir a dimensão pretendida

Para $v_1=(1,0,1)$, $v_2=(0,1,1)$, $v_3=(1,1,2)$, temos $v_3=v_1+v_2$. Uma base é $(v_1,v_2)$, a dimensão é 2 e o espaço é $z=x+y$. Assim, $(2,-1,1)$ pertence ao espaço; $(2,-1,0)$ não pertence. Acrescentar $(0,0,1)$ completa a base a $\mathbb R^3$.

Soma e interseção

Para subespaços de dimensão finita:

$$U+V=\{u+v:u\in U,v\in V\},\qquad \dim(U+V)=\dim U+\dim V-\dim(U\cap V).$$

• Para a soma, junta os geradores e extrai uma base.
• Para a interseção, junta as equações. Se tens geradores, resolve $\sum_i a_i u_i=\sum_j b_jv_j$ e reconstrói os vetores comuns.
• A soma é direta, $U\oplus V$, exatamente quando $U\cap V=\{0\}$. Cada vetor da soma tem então uma decomposição única.

Para demonstrar a fórmula das dimensões, começa numa base da interseção e completa-a separadamente a bases de $U$ e $V$. A família com os vetores comuns uma única vez gera a soma. A independência exige justificar que qualquer combinação das direções acrescentadas em $V$ que também pertença a $U$ já está na interseção. Só depois contas os vetores. Demonstração completa.

Coordenadas e outros espaços

Numa base ordenada $B=(b_1,\ldots,b_n)$, as coordenadas de $v=\sum_i a_ib_i$ são $[v]_B=(a_1,\ldots,a_n)^T$. A ordem e a base fazem parte do significado.

• Em $B=((1,1),(1,-1))$, $(3,1)=2(1,1)+(1,-1)$, logo $[v]_B=(2,1)^T$.
• $P_2(\mathbb R)$ contém polinómios de grau no máximo 2 e tem base $(1,t,t^2)$, dimensão 3. Grau exatamente 2 não define um subespaço.
• As matrizes reais $2\times2$ formam um espaço de dimensão 4, com uma base de matrizes que têm um único 1.

Extração de bases por eliminação.