Determinantes

Cálculo e operações de linhas

O determinante aplica-se a matrizes quadradas. Para ordem 2, $\det\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}=ad-bc$. Sarrus só serve a ordem 3; numa triangular, multiplica a diagonal.

Operação	Efeito no determinante
Trocar duas linhas ou colunas	Troca o sinal
Multiplicar uma linha por $k$	Multiplica por $k$
Somar a uma linha um múltiplo de outra	Mantém o valor

Uma linha nula ou dependente das restantes dá determinante zero. Para triangular por Gauss, regista trocas e fatores de escala.

Cofatores e adjunta

Retira a linha $i$ e a coluna $j$ para obter $M_{ij}$. O menor é $\det M_{ij}$ e o cofator é $C_{ij}=(-1)^{i+j}\det M_{ij}$.

A expansão de Laplace pela linha $i$ é

$$\det A=\sum_{j=1}^n a_{ij}C_{ij}.$$

Também podes expandir por uma coluna. Escolhe a que tiver mais zeros. A adjunta é a transposta da matriz dos cofatores:

$$\operatorname{adj}(A)=[C_{ij}]^T,\qquad A\operatorname{adj}(A)=(\det A)I.$$

Se $\det A\ne0$, então $A^{-1}=\operatorname{adj}(A)/\det A$.

Propriedades e Cramer

Para matrizes de ordem $n\ge1$, com $A,B$ da mesma ordem, $\det I=1$, $\det(A^T)=\det A$, $\det(AB)=\det A\det B$ e $\det(kA)=k^n\det A$.

• $A$ é invertível exatamente quando $\det A\ne0$; então $\det(A^{-1})=1/\det A$.
• Em geral, $\det(A+B)\ne\det A+\det B$.
• Para $Ax=b$ com $A$ quadrada e $\det A\ne0$, Cramer dá $x_j=\det A_j/\det A$, substituindo apenas a coluna $j$ por $b$.

Em $2x+y=7$, $x+3y=11$: $\det A=5$, $x=2$, $y=3$. Se o determinante for zero, usa Gauss para classificar o sistema.

Área, volume e orientação

• Em $\mathbb R^2$, $|\det[u\ v]|$ é a área do paralelogramo.
• Em $\mathbb R^3$, $|\det[u\ v\ w]|$ é o volume do paralelepípedo.
• O sinal regista a orientação. Determinante zero significa colunas dependentes e colapso de área ou volume.

Exemplo de eliminação com controlo do sinal.