Produtos escalar, vetorial e misto

Os vetores $(1,0)$ e $(1,1)$ são independentes, mas isso não diz qual é o ângulo entre eles. O produto escalar permite medi-lo.

Em $\mathbb R^3$, o produto vetorial dá uma normal e a área definida por dois vetores. O produto misto acrescenta um terceiro vetor para calcular um volume.

Produto escalar: ângulos e comprimentos

O produto escalar (ou interno usual) de $u = (u_1, \dots, u_n)$ por $v = (v_1, \dots, v_n)$ é

$$u \cdot v = u_1 v_1 + u_2 v_2 + \dots + u_n v_n.$$

A norma de $u$ é $\|u\| = \sqrt{u \cdot u}$, o comprimento do vetor.

Com $u = (3, 4)$, $\|u\| = \sqrt{9 + 16} = 5$.

Para dois vetores não nulos, a ligação à geometria está na fórmula $u \cdot v = \|u\| \, \|v\| \cos \theta$, onde $\theta$ é o ângulo entre os vetores.

Com $u = (1, 0)$ e $v = (1, 1)$: $u \cdot v = 1$, $\|u\| = 1$, $\|v\| = \sqrt{2}$, logo $\cos \theta = 1/\sqrt{2}$ e $\theta = 45^\circ$.

O sinal do produto escalar diz-te o tipo de ângulo: positivo significa ângulo menor que $90^\circ$, zero é reto e negativo significa ângulo maior que $90^\circ$. Isto inclui os casos de vetores alinhados, com ângulo $0$ ou $180^\circ$.

Dois vetores com produto escalar nulo dizem-se ortogonais. O vetor zero é ortogonal a todos, mas não define uma direção nem um ângulo.

Para vetores não nulos, ortogonalidade significa perpendicularidade.

As propriedades essenciais são a comutatividade, $u \cdot v = v \cdot u$, a distributividade e $(ku) \cdot v = k(u \cdot v)$. Um erro clássico é tentar “dividir” por um vetor ou distribuir uma norma: $\|u + v\|$ não é $\|u\| + \|v\|$ em geral (é a desigualdade triangular: $\|u + v\| \leq \|u\| + \|v\|$).

Produto vetorial: só em R3

Nesta cadeira, o produto vetorial é a operação de $\mathbb R^3$ que devolve um vetor perpendicular aos dois fatores. Para $a = (a_1, a_2, a_3)$ e $b = (b_1, b_2, b_3)$,

$$a \times b = (a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1).$$

Uma mnemónica é o determinante simbólico com os versores $e_1, e_2, e_3$ na primeira linha:

$$a \times b = \det \begin{bmatrix} e_1 & e_2 & e_3 \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix},$$

expandido pela primeira linha. Com $a = (1, 0, 0)$ e $b = (0, 1, 0)$ obténs $(0, 0, 1)$: o produto dos dois primeiros versores canónicos é o terceiro, e as permutações cíclicas funcionam da mesma forma.

Quando os fatores são não nulos, $\theta$ é o ângulo entre eles. Se um for zero, o produto vetorial e a área são zero.

O vetor $a \times b$ é ortogonal a $a$ e a $b$ (confirma com o produto escalar: dá sempre zero), e o seu módulo mede a área do paralelogramo definido por $a$ e $b$:

$$\|a \times b\| = \|a\| \, \|b\| \sin \theta.$$

Por exemplo, $a = (2, 0, 0)$ e $b = (0, 3, 0)$ dão $a \times b = (0, 0, 6)$, com módulo 6: o retângulo de lados 2 e 3. O sentido segue a regra da mão direita: com o indicador ao longo de $a$ e o dedo médio ao longo de $b$, o polegar aponta para $a \times b$.

Como é um vetor livre, o produto vetorial pode ser desenhado a partir de qualquer ponto. As suas propriedades pedem atenção, porque são quase, mas não exatamente, as habituais:

• anticomutatividade: $a \times b = -(b \times a)$;
• distributividade e $(ka) \times b = a \times (kb) = k(a \times b)$;
• não é associativo: $a \times (b \times c)$ difere em geral de $(a \times b) \times c$.

Se $a \times b = 0$ com $a$ e $b$ não nulos, os vetores são paralelos (um é múltiplo escalar do outro). É um teste de paralelismo muito prático.

Se a dúvida é que área o produto vetorial mede e onde entra a orientação, vê este vídeo e relaciona o produto vetorial com a área do paralelogramo e a orientação dada pela regra da mão direita:

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Produto misto: volumes e coplanaridade

O produto misto de três vetores de $\mathbb{R}^3$ é o número $[u, v, w] = (u \times v) \cdot w$, que coincide com o determinante da matriz que tem os três vetores como linhas (ou colunas):

$$[u, v, w] = \det \begin{bmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \end{bmatrix}.$$

O seu módulo é o volume do paralelepípedo definido pelos três vetores. Os versores canónicos dão determinante 1, logo o cubo unitário tem volume 1, como esperado.

A consequência mais usada: $[u, v, w] = 0$ exatamente quando os três vetores são coplanares (linearmente dependentes). Testa $u = (1, 1, 0)$, $v = (0, 1, 1)$, $w = (1, 2, 1)$:

1. primeiro $u \times v = (1 \cdot 1 - 0 \cdot 1,\; 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1,\; 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) = (1, -1, 1)$;
2. depois $(u \times v) \cdot w = 1 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 1 \cdot 1 = 0$.

São coplanares: de facto, $w = u + v$. Permutações cíclicas dos três vetores mantêm o valor do produto misto; trocar dois deles troca o sinal, tal como no determinante.

Projeção ortogonal

O produto escalar também serve para decompor um vetor na direção de outro. A projeção ortogonal de $a$ sobre $b \neq 0$ é o vetor na direção de $b$ dado por

$$\operatorname{proj}_b a = \frac{a \cdot b}{b \cdot b} \, b.$$

Procura-se $t$ tal que $a-tb$ fique perpendicular a $b$: $(a-tb)\cdot b=0$, logo $t=(a\cdot b)/(b\cdot b)$. É daqui que sai a fórmula.

A diferença $a - \operatorname{proj}_b a$ é ortogonal a $b$: subtrair a projeção remove exatamente a componente ao longo de $b$.

Exemplo em $\mathbb{R}^2$: projeta $a = (3, 1)$ sobre $b = (1, 1)$. Como $a \cdot b = 4$ e $b \cdot b = 2$,

$$\operatorname{proj}_b a = \frac{4}{2}(1, 1) = (2, 2),$$

e o complemento é $(3, 1) - (2, 2) = (1, -1)$. Confirma a ortogonalidade: $(2, 2) \cdot (1, -1) = 2 - 2 = 0$. Repetir esta decomposição vetor a vetor (tirar a cada um as componentes nas direções já tratadas) é o processo de Gram-Schmidt, que transforma qualquer base numa base ortogonal.

Comprimento, vetor e componente

A projeção $\operatorname{proj}_b a$ é um vetor. A componente escalar orientada na direção de $b$ é $a\cdot b/\|b\|$. O comprimento da projeção é $|a\cdot b|/\|b\|$, sempre não negativo.

Com $a=(1,-3)$ e $b=(1,1)$, temos $a\cdot b=-2$. A componente orientada é $-\sqrt2$, a projeção é $(-1,-1)$ e o seu comprimento é $\sqrt2$. O sinal negativo indica o sentido contrário ao de $b$, não um comprimento negativo.

Um vetor unitário paralelo a $a\ne0$ é $a/\|a\|$; o seu oposto também é unitário e paralelo. Se o enunciado fixa o sentido, escolhe o sinal correspondente.

Contas com produtos sem coordenadas

Podes usar as propriedades dos produtos para resolver problemas dados apenas por normas e ângulos. Se $\|u\|=2$, $\|v\|=3$ e o ângulo é $60^\circ$, então

$$u\cdot v=2\cdot3\cdot\frac12=3, \qquad \|u+v\|^2=\|u\|^2+2u\cdot v+\|v\|^2=19.$$

Logo $\|u+v\|=\sqrt{19}$, não $2+3$. Em $\mathbb R^3$,

$$\|u\times v\|=2\cdot3\sin60^\circ=3\sqrt3.$$

A área do triângulo definido por estes vetores é metade da área do paralelogramo: $3\sqrt3/2$. Com três vetores, o volume do tetraedro é $|[u,v,w]|/6$.

Outras identidades úteis são

$$|u\cdot v|\leq\|u\|\|v\|, \qquad \|u\times v\|^2=\|u\|^2\|v\|^2-(u\cdot v)^2.$$

A primeira é a desigualdade de Cauchy-Schwarz. A segunda permite calcular uma área sem conhecer as coordenadas: no exemplo, $4\cdot9-3^2=27$, cuja raiz é $3\sqrt3$.

Encontrar uma normal

Se $u,v$ são independentes em $\mathbb R^3$, $u\times v$ é uma normal não nula ao plano que geram. Com $u=(1,0,1)$ e $v=(0,1,1)$,

$$u\times v=(-1,-1,1).$$

A equação do plano pela origem é $-x-y+z=0$. Confirma os dois produtos escalares com a normal: ambos dão zero. Se o produto vetorial desse zero, os vetores seriam dependentes e não definiriam um plano único.

Quadro comparativo

Produto	Onde vive	Resultado	Mede	Zero significa
$u \cdot v$	$\mathbb{R}^n$	escalar	ângulo, comprimento	ortogonalidade
$u \times v$	$\mathbb{R}^3$	vetor	área do paralelogramo	dependência linear
$[u, v, w]$	$\mathbb{R}^3$	escalar	volume do paralelepípedo	vetores coplanares

O que costuma correr mal

• Usar a fórmula tridimensional do produto vetorial diretamente em $\mathbb{R}^2$: ou trabalhas com o escalar, ou mergulhas os vetores em $\mathbb{R}^3$ com terceira coordenada zero.
• Trocar a ordem do produto vetorial sem trocar o sinal, ou assumir associatividade.
• Errar sinais nas componentes do meio do produto vetorial (a segunda componente é $a_3 b_1 - a_1 b_3$, com a ordem “trocada” em relação ao que o padrão sugere).
• Esquecer o módulo ao calcular áreas e volumes: o produto vetorial é um vetor e o misto tem sinal; áreas e volumes usam o valor absoluto.