Bases ortogonais e projeções

Uma base descreve cada vetor com coordenadas. Uma base ortogonal facilita essas contas, porque cada direção fica perpendicular às restantes.

Por isso, obténs as coordenadas com produtos escalares, sem resolver um sistema novo para cada vetor.

Ortogonal não significa ortonormado

Uma família $(u_1,\ldots,u_k)$ é ortogonal quando $u_i\cdot u_j=0$ para $i\ne j$. Se todos os vetores forem não nulos, são independentes. Para ver porquê, toma uma combinação nula e faz o produto escalar com $u_j$:

$$\sum_i a_i u_i=0 \quad\Longrightarrow\quad a_j\|u_j\|^2=0 \quad\Longrightarrow\quad a_j=0.$$

Uma família ortonormada é ortogonal e cada vetor tem norma 1. Normaliza cada vetor por $q_i=u_i/\|u_i\|$.

O vetor zero é perpendicular a todos, mas não pode fazer parte de uma base nem ser normalizado.

Gram-Schmidt passo a passo

O processo de Gram-Schmidt recebe vetores independentes $(v_1,\ldots,v_k)$ e produz uma base ortogonal do mesmo subespaço. A cada vetor, retira as componentes nas direções já obtidas:

$$u_1=v_1,\qquad u_j=v_j-\sum_{i=1}^{j-1}\frac{v_j\cdot u_i}{u_i\cdot u_i}u_i.$$

Os denominadores são normas ao quadrado, e as projeções usam sempre os vetores $u_i$ já ortogonalizados.

Parte de $v_1=(1,1,0)$, $v_2=(1,0,1)$ e $v_3=(0,1,1)$:

1. Mantemos $u_1=(1,1,0)$.
2. Como $v_2\cdot u_1=1$ e $u_1\cdot u_1=2$,

$$u_2=(1,0,1)-\frac12(1,1,0)=(1/2,-1/2,1).$$

3. Para $v_3$, retiramos as duas projeções. Aqui $v_3\cdot u_1=1$ com $u_1\cdot u_1=2$, e $v_3\cdot u_2=1/2$ com $u_2\cdot u_2=3/2$.

Por isso, os coeficientes são $1/2$ e $1/3$:

$$u_3=(0,1,1)-\frac12(1,1,0)-\frac13(1/2,-1/2,1) =(-2/3,2/3,2/3).$$

Podes multiplicar cada vetor não nulo por um escalar para evitar frações. A base ortogonal fica

$$(w_1,w_2,w_3)=((1,1,0),(1,-1,2),(-1,1,1)).$$

Os três produtos escalares entre vetores distintos são zero. As normas são $\sqrt2,\sqrt6,\sqrt3$, logo a base ortonormada é $(w_1/\sqrt2,w_2/\sqrt6,w_3/\sqrt3)$.

Se um passo produzir o vetor zero, o vetor de entrada já estava no espaço gerado pelos anteriores. Não o normalizes. Retira-o e continua, se o objetivo for obter uma base a partir de geradores dependentes.

Coordenadas numa base ortogonal

Se $v$ pertence ao espaço gerado por uma base ortogonal $(u_1,\ldots,u_k)$, as suas coordenadas são

$$a_i=\frac{v\cdot u_i}{u_i\cdot u_i}.$$

Numa base ortonormada, os denominadores são 1 e $a_i=v\cdot q_i$. Esta simplificação exige ortogonalidade: fazer produtos escalares com uma base qualquer não dá, em geral, as coordenadas.

Atenção ao domínio da fórmula: o vetor $v=(2,1,0)$ não pertence ao plano gerado por $u_1=(1,1,0)$ e $u_2=(1,-1,2)$, por isso os quocientes $3/2$ e $1/6$ são os coeficientes da sua projeção nesse plano, não coordenadas de $v$ nessa base.

Projeção num subespaço

Para $W=\operatorname{span}(u_1,\ldots,u_k)$, com base ortogonal,

$$\operatorname{proj}_W v=\sum_{i=1}^k \frac{v\cdot u_i}{u_i\cdot u_i}u_i.$$

O vetor projetado pertence a $W$. O erro $v-\operatorname{proj}_Wv$ é perpendicular a todos os vetores de $W$.

Considera $W=\operatorname{span}((1,1,0),(1,-1,2))$ e $v=(2,1,0)$. Como os dois geradores são ortogonais,

$$p=\frac32(1,1,0)+\frac16(1,-1,2)=(5/3,4/3,1/3).$$

O erro é $e=v-p=(1/3,-1/3,-1/3)$. Os produtos $e\cdot(1,1,0)$ e $e\cdot(1,-1,2)$ são zero. A distância de $v$ ao plano $W$ é $\|e\|=1/\sqrt3$.

Porque é $p$ o ponto mais próximo? Para qualquer $w\in W$, escrevemos $v-w=e+(p-w)$. As duas parcelas são perpendiculares, logo

$$\|v-w\|^2=\|e\|^2+\|p-w\|^2\geq\|e\|^2.$$

A igualdade só acontece quando $w=p$: a projeção é o único ponto do plano à distância mínima.

Reflexão num subespaço

Decompõe $v=p+e$, com $p=\operatorname{proj}_W v$ e $e$ perpendicular a $W$. Refletir conserva a parcela $p$ no subespaço e inverte a parcela perpendicular:

$$R_W(v)=p-e=p-(v-p)=2p-v.$$

O ponto médio de $v$ e $R_W(v)$ é $p$, e a diferença $v-R_W(v)=2e$ é perpendicular a $W$. No exemplo anterior,

$$R_W(v)=2(5/3,4/3,1/3)-(2,1,0)=(4/3,5/3,2/3).$$

Aqui $v-R_W(v)=(2/3,-2/3,-2/3)$ tem produto escalar zero com os dois geradores, e o ponto médio volta a ser $p$.

Complemento ortogonal

O complemento ortogonal de $W$ é

$$W^\perp=\{x:x\cdot w=0\text{ para todo }w\in W\}.$$

Para o obter, basta exigir produto escalar nulo com os vetores de uma base de $W$. No exemplo,

$$x+y=0,\qquad x-y+2z=0 \quad\Longrightarrow\quad W^\perp=\operatorname{span}((-1,1,1)).$$

Em $\mathbb R^n$, $\dim W+\dim W^\perp=n$ e $\mathbb R^n=W\oplus W^\perp$. A decomposição $v=p+e$ acima é precisamente essa soma direta.

O que costuma correr mal

• Normalizar o vetor zero ou confundir norma 1 com ortogonalidade.
• Projetar sobre os vetores originais em cada passo de Gram-Schmidt.
• Somar projeções sobre uma base que não é ortogonal.
• Entregar uma base ortogonal quando o pedido exige uma base ortonormada.