Sistemas lineares invariantes

Resposta impulsional e convolução

Um SLIT é linear e invariante no tempo. Com estado inicial nulo, a resposta impulsional $h$, saída para um impulso unitário, determina a saída para qualquer entrada:

$$y[n]=\sum_kx[k]h[n-k],\qquad y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\lambda)h(t-\lambda)d\lambda.$$

1. Reflete $h$ e desloca-o para formar $h[n-k]$ ou $h(t-\lambda)$.
2. Interseta os suportes para encontrar os índices ou limites de integração.
3. Multiplica e soma, ou integra, apenas onde existe sobreposição.

Índice n	0	1	2	3	4
3h[n]	1	1	1	0	0
6h[n−1]	0	2	2	2	0
Soma y[n]	1	3	3	2	0

Cada amostra cria uma cópia de $h$ deslocada e ponderada. Para $x=[3,6,0]$ e $h=[1/3,1/3,1/3]$, ambas a começar em zero, a convolução completa é $[1,3,3,2,0]$ nos índices $0$ a $4$. Em $n=1$, somam-se $3/3+6/3$, em vez de multiplicar amostras do mesmo índice. Comprimentos representados $N,M$ dão $N+M-1$ posições, podendo as extremidades valer zero.

RC e suporte contínuo

Para saída no condensador de um RC, $\tau y'+y=x$ e

$$h(t)=\frac1\tau e^{-t/\tau}u(t),\qquad \tau=RC>0.$$

$h$ tem unidade $\mathrm{s^{-1}}$ para ganho entre tensões adimensional. Se entrada e resposta são causais, os limites são $0\le\lambda\le t$ para $t\ge0$; antes de zero não há sobreposição.

Um pulso $U_0[u(t)-u(t-T)]$ num RC descarregado produz

$$y(t)=\begin{cases} 0,&t<0,\\ U_0(1-e^{-t/\tau}),&0\le t<T,\\ U_0(1-e^{-T/\tau})e^{-(t-T)/\tau},&t\ge T. \end{cases}$$

A descarga começa na tensão realmente atingida em $T$. Para $U_0=5\,\mathrm V$ e $T=\tau$, $y(T)\simeq3{,}16\,\mathrm V$. Ver pulso no filtro RC.

Causalidade, estabilidade e ligações

• Causalidade: $h=0$ para tempos ou índices negativos.
• Para respostas ordinárias, estabilidade BIBO: $\int|h|dt<\infty$ ou $\sum|h[n]|<\infty$. O acumulador, $h[n]=u[n]$, é causal e instável.
• Um ganho $K$ tem resposta $K\delta$ e é estável, com interpretação distribucional.
• Cascata: $h_{\rm eq}=h_1*h_2$. Paralelo com soma: $h_{\rm eq}=h_1+h_2$. O impulso é identidade: $x*\delta=x$.
• A cascata matemática de circuitos pressupõe que a carga de um não altera o outro. A realimentação exige verificar a estabilidade do conjunto.

Ver convolução e limites.