Séries e transformada de Fourier

Série complexa

Para período fundamental $T_0$ e $\omega_0=2\pi/T_0$:

$$x(t)=\sum_ka_ke^{jk\omega_0t},\qquad a_k=\frac1{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_0}x(t)e^{-jk\omega_0t}dt.$$

• Integra um período completo. $a_0$ é a média; para sinal real, $a_{-k}=a_k^*$.
• $A\cos(\omega_0t+\phi)$ tem $a_{\pm1}=(A/2)e^{\pm j\phi}$. O fasor de pico é o dobro de $a_1$.
• Sinal real par usa cossenos; ímpar usa senos. Se $x(t+T_0/2)=-x(t)$, desaparecem contínuo e harmónicos pares.
• Sob condições usuais, nos saltos a série converge para a média dos limites laterais.

A onda quadrada ímpar $\pm A$, positiva em $0<t<T_0/2$, tem

$$x(t)=\frac{4A}{\pi}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{\sin((2m+1)\omega_0t)}{2m+1}.$$

Três termos usam harmónicos $1,3,5$. Mais termos estreitam a região oscilante junto ao salto, sem eliminar a ultrapassagem de Gibbs. Ver série da onda quadrada.

Transformada contínua

Com frequência angular em $\mathrm{rad/s}$:

$$X(\omega)=\int x(t)e^{-j\omega t}dt,\qquad x(t)=\frac1{2\pi}\int X(\omega)e^{j\omega t}d\omega.$$

As integrais cobrem toda a reta. Sinais periódicos e impulsos exigem distribuições.

Sinal	Transformada
$Ae^{-at}u(t)$, $a>0$	$A/(a+j\omega)$
Pulso centrado, altura $A$, duração $T$	$AT\operatorname{sinc}(\omega T/2)$
$\delta(t)$	$1$
Constante $1$	$2\pi\delta(\omega)$

Aqui $\operatorname{sinc}(z)=\sin z/z$, com valor um em zero. O pulso tem primeiros zeros em $\pm2\pi/T$; encurtá-lo alarga o espectro.

Propriedades

Com existência das operações ou interpretação distribucional adequada:

Operação temporal	Operação em frequência
$x(t-t_0)$	$e^{-j\omega t_0}X(\omega)$
$x(at)$, $a\ne0$	$X(\omega/a)/\lvert a\rvert$
$x'(t)$, condições de fronteira adequadas	$j\omega X(\omega)$
$x*h$	$XH$
$xh$	$(X*H)/(2\pi)$

A transformada é linear. Para sinal real, $X(-\omega)=X(\omega)^*$; atraso muda fase e conserva módulo. Parseval dá $E_x=(1/2\pi)\int|X|^2d\omega$.

Ver coeficientes e propriedades.