Circuitos reativos e transitórios

Estado e condições iniciais

Na convenção passiva, com $C,L$ constantes:

$$i_C=C u_C',\quad W_C=\tfrac12Cu_C^2, \qquad u_L=L i_L',\quad W_L=\tfrac12Li_L^2.$$

• Sem impulsos de corrente, $u_C(0^+)=u_C(0^-)$. Sem impulsos de tensão, $i_L(0^+)=i_L(0^-)$.
• Em DC estacionário, o condensador ideal é aberto e a bobina ideal é curto. Não uses estas substituições durante o transitório.

Respostas de primeira ordem

Para fonte constante e componentes em série, $U_0=u_C(0^+)$ e $I_0=i_L(0^+)$ são os valores iniciais. A constante $\tau$ mede-se em segundos:

Circuito	Resposta	Constante de tempo
RC	$u_C=U_s+(U_0-U_s)e^{-t/\tau}$	$\tau=RC$
RL	$i=I_\infty+(I_0-I_\infty)e^{-t/\tau}$, $I_\infty=U_s/R$	$\tau=L/R$

No RC, $i=(U_s-U_0)e^{-t/\tau}/R$. Numa rede maior, usa $R_{\rm Th}$ vista pelo condensador. Após $5\tau$, resta menos de $0{,}7\%$ da variação total.

A demo parte de condensador descarregado e fonte de $5\,\mathrm V$. Duplicar $R$ ou $C$ duplica $\tau$; só duplicar $R$ reduz a corrente inicial para metade. Ver exemplo de carga.

RLC série

Para resposta livre, $Lq''+Rq'+q/C=0$, com $u_C=q/C$ e $i=q'$. Define

$$\omega_0=\frac1{\sqrt{LC}},\quad \delta=\frac R{2L},\quad Q=\frac{\omega_0}{2\delta},\quad s_\pm=-\delta\pm\sqrt{\delta^2-\omega_0^2}.$$

Regime	Condição	Resposta livre
Sobreamortecido	$Q<1/2$	$Ae^{s_+t}+Be^{s_-t}$
Crítico	$Q=1/2$	$(A+Bt)e^{-\delta t}$
Subamortecido	$Q>1/2$	$e^{-\delta t}[A\cos(\omega_dt)+B\sin(\omega_dt)]$

$\omega_0$ mede-se em $\mathrm{rad/s}$ e $\delta$ em $\mathrm{s^{-1}}$. No último caso, $\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\delta^2}$. Fixa as duas constantes usando tensão e corrente iniciais; corrente nula não implica coeficiente seno nulo.

Com fonte DC, soma a particular $U_s$ à resposta livre antes de impor condições. O caso sobreamortecido com carga a partir de zero usa as duas raízes; ver desenvolvimento completo.