Testes do qui-quadrado

Se um modelo prevê 50, 30 e 20 unidades em três categorias, observar 60, 25 e 15 não o refuta automaticamente. Precisamos de medir a discrepância tendo em conta a variação das contagens. A estatística de Pearson é

$$Q=\sum\frac{(O-E)^2}{E}.$$

Cada termo é não negativo. Uma discrepância de dez unidades pesa mais quando se esperavam cinco do que quando se esperavam mil. Valores grandes de Q dão evidência contra a nula, pelo que a região crítica fica à direita.

Ajustamento a um modelo

Com uma variável categórica em k categorias, $H_0$ especifica probabilidades $p_1,\ldots,p_k$ que somam 1. Para uma amostra de n unidades, $E_i=np_i$ e

$$Q=\sum_{i=1}^k\frac{(O_i-np_i)^2}{np_i}\ \approx\chi^2_{k-1}.$$

A alternativa diz que pelo menos uma probabilidade difere do modelo. Os graus de liberdade são $k-1$ porque a soma das contagens está fixada. Quando os parâmetros do modelo são estimados por máxima verosimilhança dos mesmos dados, descontam-se também esses parâmetros: com r parâmetros estimados, $\nu=k-1-r$. Nos exemplos com probabilidades fixas não há esse desconto adicional.

Ajustamento em três categorias

Um modelo prevê probabilidades $0,5;0,3;0,2$. Em 100 unidades observam-se $60,25,15$. As esperadas são $50,30,20$, todas pelo menos 5:

$$Q=\frac{(60-50)^2}{50}+\frac{(25-30)^2}{30}+\frac{(15-20)^2}{20} =2+0,8333+1,25\approx4,0833.$$

Temos dois graus de liberdade. A 5%, o quantil crítico é $\chi^2_{0,05;2}\approx5,9915$. Q fica abaixo e o valor-p é aproximadamente 0,1298. Não rejeitamos o modelo. Isso não demonstra que as probabilidades sejam exatamente as propostas; a amostra pode ter pouca capacidade para detetar certas diferenças.

Independência e homogeneidade

O cálculo é igual, mas a pergunta e a recolha diferem:

• Independência: uma amostra de uma população, duas variáveis categóricas por unidade. $H_0$ diz que as variáveis são independentes.
• Homogeneidade: amostras de populações ou grupos distintos, uma variável categórica. $H_0$ diz que a distribuição dessa variável é igual nos grupos.

Numa tabela com r linhas e c colunas, sob a nula,

$$E_{ij}=\frac{O_{i\cdot}O_{\cdot j}}n,\qquad Q=\sum_{i,j}\frac{(O_{ij}-E_{ij})^2}{E_{ij}},\qquad \nu=(r-1)(c-1).$$

$O_{i\cdot}$ é o total da linha i e $O_{\cdot j}$ o total da coluna j. As esperadas conservam os totais observados das linhas e colunas. Não se obtêm dividindo n igualmente por todas as células, exceto se os totais produzirem isso.

Homogeneidade em dois grupos

Dois grupos independentes têm os resultados seguintes:

Grupo	Sucesso	Insucesso	Total
A	40	10	50
B	20	20	40
Total	60	30	90

A pergunta é se a proporção de sucesso é igual nos grupos, um teste de homogeneidade. Sob a nula, as esperadas são

Grupo	Sucesso	Insucesso
A	$50(60)/90=33,3333$	$50(30)/90=16,6667$
B	$40(60)/90=26,6667$	$40(30)/90=13,3333$

Todas excedem 5. As quatro contribuições são aproximadamente 1,3333, 2,6667, 1,6667 e 3,3333. Somando as quatro contribuições, $Q=9$. Os graus são $(2-1)(2-1)=1$, com valor crítico 3,8415 a 5%. O valor-p é aproximadamente 0,00270 e rejeitamos a igualdade. As proporções observadas são 0,8 e 0,5; indica a direção e a dimensão da diferença juntamente com a rejeição.

Se as mesmas contagens fossem recolhidas numa única amostra classificando cada unidade por grupo e resultado, a formulação seria de independência. A estatística não distingue os desenhos, porque a fórmula usa apenas as contagens; essa informação vem da recolha.

Comparar medianas por uma tabela de contagens

Também podemos formar categorias a partir de uma variável quantitativa. No teste da mediana de Mood, juntamos os valores de amostras independentes, calculamos a mediana global e contamos, em cada grupo, os valores acima e abaixo dela. A nula é igualdade das medianas populacionais. A tabela compara a posição dos grupos relativamente ao mesmo limiar; não compara as suas médias.

Considera dois grupos independentes de 40 durações cada, com valores distintos e sem observações iguais à mediana global. Obtém-se:

Posição face à mediana global	Grupo A	Grupo B	Total
Acima	12	28	40
Abaixo	28	12	40
Total	40	40	80

As quatro esperadas são $40(40)/80=20$. Sem correção de continuidade,

$$Q=4\frac{(12-20)^2}{20}=12,8.$$

Há um grau de liberdade e o crítico a 5% é 3,8415. Rejeitamos a igualdade; A apresenta mais valores abaixo da mediana global e B, acima. Esta categorização perde informação sobre as distâncias entre os valores. Não dá a diferença de medianas em segundos nem prova que todas as durações de A sejam menores.

Se existirem observações iguais à mediana global, define como tratar os empates antes da análise. Excluí-los ou incluí-los numa categoria pode mudar a tabela e o resultado. Um programa pode ainda aplicar correção de continuidade por defeito numa tabela $2\times2$; declara a convenção e conserva-a nas contas. Não substituas a mediana global pela mediana de cada grupo, pois passarias a contar em relação a limiares diferentes.

Condições e limites

As unidades devem ser independentes, cada uma contada uma única vez, em categorias mutuamente exclusivas e exaustivas. Usa frequências absolutas, não percentagens na fórmula de Q. Verifica frequências esperadas, não apenas observadas. O critério prático usado aqui é $E\ge5$ em todas as células.

Se houver categorias demasiado raras, pode ser necessário agrupá-las de forma justificada e recalcular os graus de liberdade, ou escolher outro método. Não juntes categorias apenas para conseguir um valor-p favorável. Numa tabela pequena 2 por 2, um teste exato pode ser mais adequado.

A rejeição em vários grupos diz que as distribuições não são todas iguais, não que todos os pares diferem. Contribuições grandes identificam células responsáveis pela discrepância; comparações posteriores exigem métodos e controlo de multiplicidade próprios. Não rejeitar independência também não prova independência.

Relação com testes de proporções

Com duas categorias e probabilidade nula $p_0$, o qui-quadrado de ajustamento é $Z_0^2$ do teste de uma proporção; na tabela 2 por 2, Q é o quadrado do z que usa a proporção comum, sem correções de continuidade. São correspondências bilaterais.

Q não conserva o sinal: para uma alternativa direcional, usa o teste z com o sinal correto e a cauda previamente escolhida, sem dividir automaticamente por dois o valor-p do qui-quadrado para qualquer pergunta.

Dimensão da amostra e significado

Se 51% de n unidades têm uma característica e a nula é p igual a 0,5,

$$Q=\frac{(0,51n-0,5n)^2}{0,5n}+\frac{(0,49n-0,5n)^2}{0,5n}=0,0004n.$$

Para n igual a 1 000, Q é 0,4 e não rejeitamos a 5%. Para n igual a 10 000, Q é 4 e rejeitamos. A diferença observada continua a ser um ponto percentual. A evidência cresce com a informação, mas a relevância prática da diferença não muda automaticamente.