Amostragem e limite central

Duas amostras da mesma população podem dar médias diferentes. A distribuição amostral descreve essa variação da estatística entre amostras. Para a ver, começamos por enumerar todas as amostras de uma população com apenas dois valores.

Estatística, estimador e estimativa

Um estimador é não enviesado quando a sua esperança é o parâmetro. Para observações i.i.d. com média $\mu$ e variância finita $\sigma^2$,

$$E(\bar X)=\mu,\qquad \operatorname{Var}(\bar X)=\frac{\sigma^2}{n}.$$

A primeira igualdade vem da linearidade. Para a segunda, o fator $1/n$ da média fica ao quadrado e as n variâncias somam-se pela independência:

$$\operatorname{Var}(\bar X)=\frac1{n^2}\sum_{i=1}^n\sigma^2=\frac{n\sigma^2}{n^2}=\frac{\sigma^2}{n}.$$

O erro padrão é o desvio padrão do estimador:

$$SE(\bar X)=\frac{\sigma}{\sqrt n},\qquad \widehat{SE}(\bar X)=\frac{s}{\sqrt n}$$

quando $\sigma$ é estimado. $s$ mede dispersão das observações; $s/\sqrt n$ estima a dispersão de médias. Quadruplicar n reduz este erro padrão para metade, mantendo o modelo e a variância.

Reposição e distribuição da média

Uma população tem valores 0 e 2, equiprováveis. Duas escolhas independentes com reposição produzem $(0,0),(0,2),(2,0),(2,2)$, cada par com probabilidade $1/4$.

Amostra	Média	Probabilidade
(0,0)	0	1/4
(0,2)	1	1/4
(2,0)	1	1/4
(2,2)	2	1/4

As médias possíveis são 0, 1 e 2, com probabilidades $1/4,1/2,1/4$. A população tem média 1 e variância 1. A média amostral também tem esperança 1, mas variância $1/2$. Com apenas duas escolhas, a sua distribuição é discreta, não normal.

Média normal: resultado exato

Se cada $X_i\sim N(\mu,\sigma^2)$ e as observações são independentes,

$$\bar X\sim N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right),\qquad \sum_iX_i\sim N(n\mu,n\sigma^2).$$

Não é necessário esperar por uma amostra grande. Se os tempos individuais são normais com média 20 e desvio 6, a média de nove tempos tem desvio $6/3=2$:

$$P(\bar X>23)=1-\Phi\left(\frac{23-20}{2}\right)\approx0,0668.$$

Usar o desvio individual 6 responderia a uma pergunta sobre um único tempo, não sobre a média de nove.

Teorema do Limite Central

Para observações i.i.d. com média finita e variância $0<\sigma^2<\infty$, quando n cresce,

$$\frac{\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\ \xrightarrow{d}\ N(0,1).$$

Assim, $\bar X$ pode ser aproximadamente normal mesmo que os dados individuais sejam assimétricos; o teorema não transforma os dados em normais, não remove dependência nem corrige uma amostra enviesada.

A regra prática $n\ge30$ é útil em situações moderadas, mas não garante uma boa aproximação perante assimetria extrema ou caudas muito pesadas. Se não sabemos a forma populacional e n é pequeno, a aproximação normal da média pode não ser defensável.

Exemplo. Uma população não normal tem média 50 e desvio 14. Para 49 observações i.i.d., o erro padrão da média é 2. Sob aproximação normal,

$$P(48<\bar X<54)\approx\Phi(2)-\Phi(-1)\approx0,8186.$$

Escrevemos «aproximadamente» porque não foi assumida uma população normal.

A figura parte de observações exponenciais independentes com média e desvio 10. Mostra a densidade exata da média para $n=1,5,30$, comparada com a normal de média 10 e desvio $10/\sqrt n$. Em $n=1$, a normal até atribui probabilidade a médias negativas, impossíveis neste modelo. Com n maior, a assimetria reduz-se e a aproximação melhora.

Proporção amostral

Se X conta sucessos em n ensaios independentes com probabilidade p, $X\sim B(n,p)$. A proporção amostral é $\widehat P=X/n$:

$$E(\widehat P)=p,\qquad \operatorname{Var}(\widehat P)=\frac{p(1-p)}n.$$

Para a proporção ajustada $\widetilde P=(X+2)/(n+4)$,

$$E(\widetilde P)=\frac{np+2}{n+4},\qquad \operatorname{Var}(\widetilde P)=\frac{np(1-p)}{(n+4)^2}.$$

O ajustamento introduz enviesamento $(2-4p)/(n+4)$ em direção a 0,5. Um estimador usado para construir intervalos não precisa de ser não enviesado: a qualidade mede-se pela cobertura do intervalo, não só pelo enviesamento do centro.

Aproximar uma binomial

A aproximação $X\approx N(np,np(1-p))$ usa, como critério prático, $n>25$ e $\min\{np,n(1-p)\}>5$. A contagem é discreta e a normal é contínua, pelo que fazemos correção de continuidade:

Acontecimento	Intervalo da normal aproximante Y
$X\le k$	$Y<k+0,5$
$X\ge k$	$Y>k-0,5$
$X=k$	$k-0,5<Y<k+0,5$
$a\le X\le b$	$a-0,5<Y<b+0,5$

Percentagens, contagens e continuidade

Se $X\sim B(80;0,4)$, perguntar se pelo menos 45% têm sucesso significa $X\ge36$; as condições verificam-se, pois n é 80, $np=32$ e $n(1-p)=48$. A normal aproximante tem média 32 e desvio $\sqrt{19,2}\approx4,3818$. Com correção de continuidade,

$$P(X\ge36)\approx P(Y>35,5) =1-\Phi\left(\frac{35,5-32}{\sqrt{19,2}}\right)\approx0,2122.$$

Para «pelo menos 45%» noutro tamanho de amostra, arredonda a contagem mínima para cima antes da correção. Cada inteiro $k$ ocupa a faixa $[k-0,5;k+0,5]$ na escala contínua. A correção alarga meio ponto para cada lado incluído e estreita meio ponto para cada lado excluído. Para probabilidade de uma contagem exata, usa a faixa de largura 1; uma normal dá probabilidade zero a um ponto isolado.