Polinómio e série de Taylor

Polinómio e erro

O polinómio de Taylor de ordem $n$ em $a$ coincide com as derivadas de $f$ até ordem $n$ no centro:

$$P_{n,a}(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k.$$

Usa $f^{(0)}=f$ e $0!=1$. O grau é no máximo $n$.

Se $f$ tem derivadas contínuas até ordem $n+1$ no segmento entre $a$ e $x$,

$$f(x)-P_{n,a}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1},$$

para algum $\xi$ entre os dois pontos. Uma cota $|f^{(n+1)}|\le M$ em todo o segmento dá erro no máximo $M|x-a|^{n+1}/(n+1)!$.

Para $e^x$, $P_{3,0}=1+x+x^2/2+x^3/6$. Em $x=0{,}1$, usando $e^x<2$ no segmento, o erro é menor que $1/120000$.

Séries de Taylor

Ter todas as derivadas permite formar a série, mas a igualdade com $f$ exige que o resto tenda para zero. As somas abaixo começam em $k=0$, exceto o logaritmo, que começa em $k=1$:

Série	Soma	Onde vale
$\sum_{k=0}^{\infty}x^k/k!$	$e^x$	Todo $\mathbb R$
$\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^kx^{2k+1}/(2k+1)!$	$\sin x$	Todo $\mathbb R$
$\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^kx^{2k}/(2k)!$	$\cos x$	Todo $\mathbb R$
$\sum_{k=0}^{\infty}x^k$	$1/(1-x)$	$\|x\|<1$
$\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^{k+1}x^k/k$	$\ln(1+x)$	$-1<x\le1$

Substituir numa série conhecida evita muitas derivadas: $x^3e^{-2x^2}=\sum_{k=0}^{\infty}(-2)^kx^{2k+3}/k!$ em todo o real.

Polinómio e resto de $x\ln x$ no centro um.

Raio e extremos

Uma série $\sum c_k(x-a)^k$ converge absolutamente para $|x-a|<R$ e diverge para $|x-a|>R$. Estuda cada extremo separadamente.

Para $\sum_{k=1}^{\infty}(x-2)^k/(k3^k)$, a razão dá $R=3$. Em $-1$ aparece uma harmónica alternada; em $5$, a harmónica. O intervalo é $[-1,5[$.

Dentro do intervalo aberto podes derivar e integrar termo a termo. O raio conserva-se; a convergência nos extremos pode mudar.