Primitivação por substituição e por partes

Primitivas imediatas

Uma primitiva $F$ de $f$ num intervalo satisfaz $F'=f$. Todas as primitivas nesse intervalo são $F+C$; componentes separadas do domínio podem ter constantes diferentes.

Integrando	Primitiva, além de $C$	Condição
$x^\alpha$	$x^{\alpha+1}/(\alpha+1)$	$\alpha\ne-1$, num intervalo do domínio
$1/x$	$\ln\vert x\vert$	$x\ne0$
$e^x$, $a^x$	$e^x$, $a^x/\ln a$	$a>0$, $a\ne1$
$\cos x$, $\sin x$	$\sin x$, $-\cos x$	Radianos
$\sec^2x$	$\tan x$	Onde definida
$1/(1+x^2)$	$\arctan x$	$x\in\mathbb R$
$1/\sqrt{1-x^2}$	$\arcsin x$	$\vert x\vert <1$

A integração é linear, mas não preserva produtos de funções.

Substituição

Procura uma função interior e a sua derivada. Com $u=g(x)$ e $du=g'(x)dx$,

$$\int f(g(x))g'(x)dx=F(g(x))+C,\qquad F'=f.$$

• Reescreve todo o integrando e o diferencial na nova variável.
• Corrige constantes: $\int x/(1+x^2)dx=\frac12\ln(1+x^2)+C$.
• Em geral, $\int f'/f=\ln|f|+C$ onde $f\ne0$.
• Num integral definido, muda também os limites, ou volta a $x$ antes de aplicar os limites originais.

Por exemplo, $u=1+x^2$ dá $\int_0^1 2x/(1+x^2)dx=\int_1^2du/u=\ln2$.

Partes

$$\int u\,dv=uv-\int v\,du.$$

Escolhe $u$ que simplifique ao derivar e $dv$ fácil de integrar. Para $\int xe^{2x}dx$, toma $u=x$ e $v=e^{2x}/2$:

$$\int xe^{2x}dx=e^{2x}\left(\frac x2-\frac14\right)+C.$$

• Para $\ln x$, podes usar $dv=dx$: a primitiva é $x\ln x-x+C$, com $x>0$.
• Se o integral inicial reaparece depois de partes, resolve a equação resultante.
• Na versão definida, $\int_a^buv'=[uv]_a^b-\int_a^bu'v$.

Em funções por ramos, ajusta constantes para a primitiva ser contínua e verifica a derivada no ponto de união. Um integral definido é um número e não leva $+C$. Exemplo de união de ramos.