Estudo de funções e otimização

Monotonia e extremos

Num intervalo de derivabilidade, $f'>0$ implica crescimento estrito e $f'<0$ decrescimento estrito. $f'\ge0$ garante crescimento não estrito; uma função estritamente crescente pode ter zeros da derivada.

• Procura candidatos interiores onde $f'=0$ ou $f'$ não existe.
• Se $f$ é contínua no candidato e derivável dos dois lados, a passagem de $f'$ de $+$ para $-$ dá máximo local; de $-$ para $+$ dá mínimo local.
• Se $f'(c)=0$, $f''(c)>0$ dá mínimo e $f''(c)<0$ máximo. $f''(c)=0$ não decide.
• Para extremos absolutos de uma função contínua em $[a,b]$, compara todos os candidatos interiores e ambos os extremos do intervalo.

Concavidade e assíntotas

• $f''>0$ dá concavidade para cima; $f''<0$ para baixo.
• Uma inflexão exige mudança de concavidade num ponto do gráfico. $f''=0$ sozinho não chega; pontos fora do domínio não são inflexões.
• $x=a$ é assíntota vertical se algum limite lateral é infinito.
• $y=L$ é horizontal numa direção se $f(x)\to L$ nessa direção.
• $y=mx+b$ é oblíqua se $f(x)-(mx+b)\to0$. Calcula $m=\lim f(x)/x$, depois $b=\lim(f(x)-mx)$, separadamente nas duas direções.

Exemplo racional

Para $f(x)=x+1/x$, $x\ne0$:

$$f'=1-\frac1{x^2},\qquad f''=\frac2{x^3}.$$

O sinal de $f'$ dá máximo local $(-1,-2)$ e mínimo local $(1,2)$, sem extremos absolutos. As assíntotas são $x=0$ e $y=x$; zero não é inflexão porque não pertence ao domínio.

Otimização

1. Escolhe a variável e escreve a grandeza a otimizar.
2. Determina o domínio físico.
3. Deriva, classifica candidatos e verifica fronteiras.

Com perímetro $20$ m, $A=x(10-x)$ em $0<x<10$. $A'=10-2x$ muda de $+$ para $-$ em $5$: máximo $25$ m$^2$. A área tende para zero nas fronteiras, mas não há mínimo entre retângulos não degenerados.

Estudo completo e imagem da função.