Derivadas e regras de derivação

Derivada e tangente

A derivada num ponto interior $a$ é o limite finito

f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h.

A tangente é $y-f(a)=f'(a)(x-a)$ .
Derivabilidade implica continuidade. O recíproco falha: $|x|$ é contínua em zero, mas as derivadas laterais são $-1$ e $1$ .
Uma tangente vertical não corresponde a uma derivada real finita.

Em $f(x)=x^2$ , o declive da secante em $a=1$ é $2+h$ , que tende para $2$ .

Incremento hh = 0,50; declive da secante = 2,50; tangente = 2.

Linha contínua fina: secante. Tracejado: tangente.

Para $u,v$ deriváveis e $c$ constante,

(cu)'=cu',\quad (u+v)'=u'+v',\quad (uv)'=u'v+uv',\quad \left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}\quad(v\ne0).

Função	Derivada	Condição
$x^\alpha$	$\alpha x^{\alpha-1}$	$x>0$ para expoente real geral
$e^x$ , $a^x$	$e^x$ , $a^x\ln a$	$a>0$
$\ln\vert x\vert$	$1/x$	$x\ne0$
$\sin x$ , $\cos x$	$\cos x$ , $-\sin x$	Radianos
$\tan x$ , $\cot x$	$\sec^2x$ , $-\csc^2x$	Onde definidas
$\arcsin x$ , $\arccos x$	$\pm1/\sqrt{1-x^2}$	$\vert x\vert <1$ , sinal negativo no arco-cosseno
$\arctan x$ , $\operatorname{arccot}x$	$\pm1/(1+x^2)$	Sinal negativo na arco-cotangente

Cadeia: $(u\circ v)'=u'(v)v'$ . Por exemplo, $(\sin(x^2))'=2x\cos(x^2)$ .
Na derivação implícita, trata $y$ como função de $x$ . De $x^2+y^2=25$ resulta $2x+2yy'=0$ , logo $y'=-x/y$ se $y\ne0$ .
Se $f$ é contínua e estritamente monótona num intervalo, derivável em $a$ e $f'(a)\ne0$ , então $(f^{-1})'(f(a))=1/f'(a)$ .

Para $f(x)=x+x^3$ , $f(1)=2$ e $f'(1)=4$ , logo $(f^{-1})'(2)=1/4$ .

Para $y=f(u(x))$ , com $u$ duas vezes derivável e $f$ duas vezes derivável num intervalo que contém a imagem de $u$ ,

y''=f''(u)(u')^2+f'(u)u''.

Deriva o produto $f'(u)u'$ ; não multipliques apenas as segundas derivadas. Para $\sin(x^2)$ , resulta $-4x^2\sin(x^2)+2\cos(x^2)$ .

Para $u>0$ , deriva $\ln(u^v)=v\ln u$ :

(u^v)'=u^v\left(v'\ln u+v\frac{u'}u\right).

Por exemplo, $(x^x)'=x^x(\ln x+1)$ em $x>0$ . A regra da potência com expoente constante não se aplica.