Cinemática do ponto material

Cinemática vetorial

• Um ponto material segue a trajetória e ignora tamanho e rotação.
• Fixa origem, eixos e instante inicial antes de calcular.
• $\vec v=d\vec r/dt$ e $\vec a=d\vec v/dt$. A rapidez $v=|\vec v|$ nunca é negativa; uma componente $v_x$ pode ser.
• Deslocamento $\Delta\vec r=\vec r_f-\vec r_i$; distância soma o caminho. Ir e voltar dá deslocamento nulo.
• Converte unidades primeiro: $72\ \mathrm{km/h}=20\ \mathrm{m/s}$.

Para $x=2+3t-t^2$ (SI): $v_x=3-2t$, $a_x=-2\ \mathrm{m/s^2}$. Inverte em $t=1{,}5\ \mathrm s$ com $x=4{,}25\ \mathrm m$; aí $v_x=0$ mas $a_x\ne0$.

Ler gráficos e integrar

Gráfico	Declive	Área com sinal
$x(t)$	$v_x$	—
$v_x(t)$	$a_x$	deslocamento

Integra por componente com as condições iniciais:

$$\vec v(t)=\vec v_0+\int_{t_0}^t\vec a\,du, \qquad \vec r(t)=\vec r_0+\int_{t_0}^t\vec v\,du.$$

Só com $a$ constante ($t_0=0$): $v_x=v_0+at$, $x=x_0+v_0t+at^2/2$, $v_x^2=v_0^2+2a\Delta x$. A última perde o sentido da velocidade; escolhe o sinal da raiz pela situação.

Para eliminar o tempo numa trajetória, integra cada componente e elimina $t$: com $\vec v=(2t,4)$ e $\vec r_0=(1,0)$, sai $x=1+y^2/16$.

Atrito linear e velocidade limite

Se $\dot v_x=-\lambda v_x$ ($\lambda>0$): $v_x=v_{x0}e^{-\lambda t}$ e $x=x_0+(v_{x0}/\lambda)(1-e^{-\lambda t})$. A solução nula também satisfaz a equação; verifica-a à parte.

Se $a_x$ depende de $v_x$ e não se anula no trecho:

$$\Delta x=\int_{v_{x0}}^{v_{xf}}\frac{v_x}{a_x(v_x)}\,dv_x.$$

Com $a_x=a_0-cv_x^2$, a velocidade limite $\sqrt{a_0/c}$ nunca se atinge num trecho finito. Exemplo com distância e limite.

Projétil sem ar

Com $y$ para cima e gravidade uniforme:

$$x=x_0+v_0\cos\theta\,t,\qquad y=y_0+v_0\sin\theta\,t-\tfrac12gt^2.$$

• O tempo é comum aos dois eixos; só o vertical tem aceleração.
• No topo, $v_y=0$ mas $v_x$ mantém-se. Velocidade vertical nula não é paragem nem implica $a=0$.
• Alcance $v_0^2\sin(2\theta)/g$ só com chegada à altura de partida. Com alturas diferentes, resolve a equação vertical para o instante de chegada.

Exemplo: $14\ \mathrm{m/s}$ a $30^\circ$ dá $t_\text{topo}\approx0{,}714\ \mathrm s$, altura $2{,}50\ \mathrm m$ e alcance $17{,}30\ \mathrm m$.

Curvatura e roda

$$\vec a=\frac{dv}{dt}\hat t+\frac{v^2}{\rho}\hat n,$$

com $\hat t$ no sentido da velocidade e $\hat n$ para o centro de curvatura.

• $a_t$ muda a rapidez; $a_n=v^2/\rho$ muda a direção.
• Para $v\ne0$: $a_t=\vec v\cdot\vec a/v$, $a_n=\sqrt{|\vec a|^2-a_t^2}$, $\rho=v^2/a_n$ (se $a_n>0$).
• Numa circunferência: $s=R\theta$ (radianos), $v=R|\omega|$, $a_n=R\omega^2$. Em uniforme, $|\omega|=2\pi/T=2\pi f$.

No topo do projétil de $14\ \mathrm{m/s}$: $a_t=0$, $a_n=g$, $\rho\approx15{,}0\ \mathrm m$. Integração e exemplos completos.