Rotação de corpos rígidos

Torque e conservação

Em origem inercial fixa $O$: $\vec L_O=\vec r\times\vec p$, $\vec\tau_O=\vec r\times\vec F$, e $d\vec L_O/dt=\sum\vec\tau_\mathrm{ext}$.

• $\vec r$ vai da origem ao ponto de aplicação; $|\tau|=Fd_\perp$ com $d_\perp$ à linha de ação. O sentido vem da mão direita.
• Torque em $\mathrm{N\,m}$ não é energia. Força radial tem torque nulo nessa origem.
• Internos centrais cancelam-se; sem torque externo conserva-se $\vec L_O$, sem implicar $P$ ou $K$.
• Binário: resultante nula e torque $Fd$ entre linhas de ação, independente da origem.

Inércia e eixo fixo

$I=\int r_\perp^2\,dm$ em $\mathrm{kg\,m^2}$: a distância ao eixo pesa ao quadrado.

Corpo uniforme	$I$
Aro fino, simetria	$MR^2$
Disco ou cilindro maciço, simetria	$MR^2/2$
Esfera maciça, diâmetro	$2MR^2/5$
Haste fina, perpendicular pelo centro	$M\ell^2/12$

Eixos paralelos, um pelo centro: $I=I_\mathrm{CM}+Md^2$. A forma sem o eixo não chega; o aro na periferia tem $2MR^2$.

Em eixo fixo com $I$ constante, ou rotação plana em torno do centro:

$$\sum\tau_z=I\alpha,\qquad L_z=I\omega,\qquad K_\mathrm{rot}=\tfrac12I\omega^2.$$

$\vec L=I\vec\omega$ só vale em eixos apropriados, como principais. Trabalho $\int\tau_z\,d\theta$, potência $\tau_z\omega$.

Equilíbrio e rolamento

Estático: $\sum\vec F=0$ e $\sum\vec\tau=0$ em simultâneo. Toma momentos onde atua uma reação desconhecida para a eliminar.

Viga de $4\ \mathrm m$, $200\ \mathrm N$ no centro, carga de $300\ \mathrm N$ a $3\ \mathrm m$ da esquerda: $R_A+R_B=500$ e $4R_B=2(200)+3(300)$, logo $R_B=325$ e $R_A=175\ \mathrm N$. Apoio que só empurra exige reação não negativa.

Numa prancha inclinada, forças verticais têm braços horizontais e forças horizontais têm braços verticais. Só cancela a projeção comum se ela for não nula.

Rolamento sem deslizar em superfície parada: o contacto está instantaneamente parado, $v_\mathrm{CM}=R|\omega|$ e $a=R\alpha$ na direção de avanço.

$$K=\tfrac12Mv_\mathrm{CM}^2+\tfrac12I_\mathrm{CM}\omega^2,\qquad a=\frac{g\sin\theta}{1+I_\mathrm{CM}/(MR^2)}.$$

• A direção do atrito estático sai das equações com $a=R\alpha$. Na descida aponta para cima, embora o centro desça.
• Confirma $f\le\mu_sN$ antes de aceitar rolamento puro. Cilindro maciço: $a=(2/3)g\sin\theta$, $\mu_s\ge\tan\theta/3$.
• O estático fornece torque sem dissipar neste modelo ideal. Deslizamento ou resistência de rolamento mudam o balanço.

Roldanas, pêndulos e impactos

• Massa que desenrola fio sem deslizar: $mg-T=ma$, $TR=I\alpha$, $a=R\alpha$; $a=mg/(m+I/R^2)$.
• Atwood com $m_1>m_2$: $a=(m_1-m_2)g/(m_1+m_2+I/R^2)$; as tensões diferem para dar torque ($I=0$ recupera a ideal).
• Pêndulo físico, pequenos ângulos: $T\approx2\pi\sqrt{I_O/(Mgd)}$. Haste de $\ell$ suspensa pela extremidade: $T=2\pi\sqrt{2\ell/(3g)}$.
• Impacto com eixo fixo: conserva $L$ axial se o impulso do torque externo for desprezável; inclui a massa presa em $I_f$. O apoio pode dar impulso linear e o choque dissipa $K$.
• Sem torque externo, fechar os braços conserva $I\omega$ mas o trabalho interno pode aumentar $K$.

Dinâmica e limites do rolamento.