Oscilações

Oscilador ideal

Mola ideal sem atrito, $x$ desde o equilíbrio: $\ddot x+\omega_0^2x=0$ com $\omega_0=\sqrt{k/m}$.

$$x=A\cos(\omega_0t+\phi),\qquad v=-A\omega_0\sin(\omega_0t+\phi),\qquad T=\frac{2\pi}{\omega_0}.$$

• $A\ge0$ é a amplitude, $\omega_0$ em $\mathrm{rad/s}$ difere de $f$ em hertz por $2\pi$.
• Nas extremidades, $v=0$ e $|a|$ é máximo; no equilíbrio, $a=0$ e $|v|$ é máximo.
• A força opõe-se ao afastamento, não necessariamente à velocidade: acelera o regresso ao equilíbrio.

Com condições iniciais, evita a fase primeiro:

$$x=x_0\cos\omega_0t+(v_0/\omega_0)\sin\omega_0t,\qquad A^2=x_0^2+(v_0/\omega_0)^2.$$

Os sinais de $\cos\phi=x_0/A$ e $\sin\phi=-v_0/(A\omega_0)$ escolhem o quadrante. Exemplo: $\omega_0=20$, $x_0=0{,}030$, $v_0=0{,}80$ dá $A=0{,}050\ \mathrm m$ e $\phi\approx-0{,}927$.

Energia e pêndulo

• $E=mv^2/2+kx^2/2=kA^2/2$; a rapidez é $\omega_0\sqrt{A^2-x^2}$ e o sentido decide o sinal de $v$.
• Mola vertical: o peso desloca o equilíbrio de $mg/k$ sem mudar $\omega_0$.
• Pêndulo simples, ângulos pequenos em radianos: $T\approx2\pi\sqrt{\ell/g}$, sem a massa. Amplitudes grandes aumentam o período; um corpo extenso exige o pêndulo físico.

Amortecimento linear

Com $-bv$ ($b\ge0$): $m\ddot x+b\dot x+kx=0$, $\gamma=b/(2m)$.

Regime	Condição	Forma
Sem amortecimento	$\gamma=0$	Amplitude constante
Subamortecido	$0<\gamma<\omega_0$	$Ae^{-\gamma t}\cos(\omega_dt+\phi)$
Crítico	$\gamma=\omega_0$	$(C_1+C_2t)e^{-\gamma t}$
Sobreamortecido	$\gamma>\omega_0$	Soma de exponenciais reais

Aqui $\omega_d=\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}$. O crítico regressa mais depressa do repouso, mas outro estado inicial pode atravessar o equilíbrio uma vez sem ser oscilatório.

Com condições iniciais no subamortecido:

$$x=e^{-\gamma t}\left[x_0\cos\omega_dt+\frac{v_0+\gamma x_0}{\omega_d}\sin\omega_dt\right].$$

O termo $\gamma x_0$ vem da derivada da exponencial; $D=v_0/\omega_d$ só vale sem amortecimento. A envolvente começa em $\sqrt{C^2+D^2}$, que não é necessariamente um pico atingido.

Decaimento: $t_{1/2}=\ln2/\gamma$; a energia média cai aproximadamente com $e^{-2\gamma t}$ (dobro do expoente). $\tau=1/(2\gamma)$, $Q=\omega_0/(2\gamma)$; a amplitude decai como $e^{-t/(2\tau)}$. Confirma se um tempo dado pertence à amplitude ou à energia.

Resposta forçada

Com $F_0\cos\Omega t$ e $b>0$, o transitório decai e fica a resposta permanente à frequência imposta $\Omega$:

$$x_\mathrm{perm}=A(\Omega)\cos(\Omega t-\delta_f), \qquad A(\Omega)=\frac{F_0/m}{\sqrt{(\omega_0^2-\Omega^2)^2+(2\gamma\Omega)^2}}.$$

• A resposta permanente oscila a $\Omega$, não a $\omega_d$. Em $\Omega=\omega_0$, atrasa-se $\pi/2$ com $A=F_0/(b\omega_0)$.
• Três pêndulos com $f_0$ de $0{,}41$, $0{,}50$ e $0{,}71\ \mathrm{Hz}$: forçar a $0{,}50\ \mathrm{Hz}$ seleciona o do meio.

Pico de amplitude (com $F_0$ constante): só se $0<\gamma<\omega_0/\sqrt2$, em $\Omega_\mathrm{res}=\sqrt{\omega_0^2-2\gamma^2}$. Nesse intervalo, $\Omega_\mathrm{res}<\omega_d<\omega_0$. Ser subamortecido não basta para haver pico.

Condições iniciais e fase.