Centro de massa e momento linear

Centro de massa

$$\vec R_\mathrm{CM}=\frac{\sum_i m_i\vec r_i}{M}, \qquad \vec R_\mathrm{CM}=\frac1M\int\vec r\,dm.$$

• Escolhe $dm$ pela geometria: $\lambda\,dx$ na haste, $\sigma\,dA$ na placa, $\rho\,dV$ no volume.
• Calcula primeiro a massa total. Com $\lambda=cx$ entre $0$ e $L$: $M=cL^2/2$ e $X_\mathrm{CM}=2L/3$, para o lado de maior densidade.
• Sem simetria nem densidade uniforme, o centro geométrico não serve. O centro pode ficar fora do material.

Placa uniforme com recorte: combina peças pelos centros ponderados por área; o buraco entra como massa negativa da mesma densidade. Completo $6$ e centro $(1{,}5;1)$ menos recorte $2$ e centro $(2;1{,}5)$: $X_\mathrm{CM}=1{,}25$, $Y_\mathrm{CM}=0{,}75\ \mathrm m$.

Sistema e impulso

Para massa total constante:

$$\vec P=M\vec V_\mathrm{CM},\qquad \frac{d\vec P}{dt}=\sum\vec F_\mathrm{ext}=M\vec A_\mathrm{CM}.$$

• As internas cancelam-se; o centro segue a resultante externa. Os corpos podem mover-se relativamente a ele.
• $K=MV_\mathrm{CM}^2/2+K_\mathrm{rel}$: numa colisão isolada, o coletivo mantém-se e a relativa pode cair.
• Impulso $\vec J=\int\vec F\,dt=\Delta\vec p$. Conserva-se $\vec P$ onde $\vec J_\mathrm{ext}=0$; verifica direção a direção.

Exemplo: bola de $0{,}20\ \mathrm{kg}$ de $+10$ para $-8\ \mathrm{m/s}$ recebe $J_x=-3{,}6\ \mathrm{N\,s}$. Com pessoa e barco parados e sem força externa horizontal, $X_\mathrm{CM}$ fica fixo; distingue os $2\ \mathrm m$ no barco do deslocamento na margem.

Choques em 1D

Com $v_i$ antes e $u_i$ depois: $m_1v_1+m_2v_2=m_1u_1+m_2u_2$.

Modelo	Segunda relação	Resultado
Juntos	$u_1=u_2=u$	$u=(m_1v_1+m_2v_2)/(m_1+m_2)$
Elástico	conserva $K$; $u_2-u_1=v_1-v_2$	Resolve com o momento

Só massas iguais trocam velocidades. Momento conservado não implica energia conservada.

Com $2\ \mathrm{kg}$ a $3\ \mathrm{m/s}$ contra $1\ \mathrm{kg}$ parado ($P=6$, $K=9$): juntos seguem a $2\ \mathrm{m/s}$ ($K=6$); elástico dá $1$ e $4\ \mathrm{m/s}$ ($K=9$).

No plano, conserva cada componente. Fragmentação de corpo parado: $m_1\vec u_1+m_2\vec u_2=0$; com mais fragmentos, separa por direção.

Pêndulo balístico

Bala $m$ presa em bloco $M$, altura $h$:

1. Impacto breve: momento horizontal, $mv=(M+m)V$. Não conserves $K$.
2. Subida sem perdas: energia, $V=\sqrt{2gh}$.

Logo $v=(M+m)\sqrt{2gh}/m$. Atravessar o impacto com energia dá resposta errada.

Distribuições de massa e recortes.