Superfícies, fluxo e os teoremas da divergência e de Stokes

Área e fluxo orientado

Para parametrização $C^1$ regular $\mathbf r(u,v)$, que cobre a superfície uma só vez salvo fronteiras de área zero:

$$dS=\|\mathbf r_u\times\mathbf r_v\|\,du\,dv.$$

• Área ou massa: $\iint_Sg\,dS$, sem orientação.
• Fluxo: $\iint_D\mathbf F(\mathbf r)\cdot(\mathbf r_u\times\mathbf r_v)\,du\,dv$, com o produto a apontar para o lado pedido. Inverter a normal troca o sinal. Não multipliques pela norma outra vez.
• No gráfico $z=f(x,y)$, o vetor área para cima é $(-f_x,-f_y,1)\,dx\,dy$; a área usa $\sqrt{1+f_x^2+f_y^2}$.

Para $z=x+2y$ sobre o quadrado unitário, a área é $\sqrt6$. Na esfera de raio $a$, $\iint z^2\,dS=4\pi a^4/3$.

Divergência e Stokes

Para $\mathbf F=(P,Q,R)\in C^1$:

$$\nabla\cdot\mathbf F=P_x+Q_y+R_z,\qquad \nabla\times\mathbf F=(R_y-Q_z,P_z-R_x,Q_x-P_y).$$

Fluxo exterior por superfície fechada, sem singularidades no sólido:

$$\iint_{\partial V}\mathbf F\cdot\mathbf n\,dS =\iiint_V\nabla\cdot\mathbf F\,dV.$$

Circulação no bordo, com bordo e normal compatíveis pela mão direita:

$$\oint_C\mathbf F\cdot d\mathbf r =\iint_S(\nabla\times\mathbf F)\cdot\mathbf n\,dS.$$

Superfície aberta: fecha com tampas e subtrai os seus fluxos. Na hemisfera superior unitária com $\mathbf F=(x,y,z+1)$, o fluxo total é $2\pi$, a tampa dá $-\pi$ e a calota dá $3\pi$.

Escolhe divergência para fluxo fechado, Stokes para circulação espacial e Green para circulação plana. Uma singularidade na região necessária invalida o teorema.

Escolha de métodos