Taylor e extremos em várias variáveis

Taylor de segunda ordem

Para $f\in C^2$ perto de $a$, com deslocamento $h$:

$$f(a+h)=f(a)+\nabla f(a)\cdot h+\tfrac12h^TH_f(a)h+o(\|h\|^2).$$

Em duas variáveis, o termo quadrático é $\tfrac12(f_{xx}h^2+2f_{xy}hk+f_{yy}k^2)$, com derivadas no centro. Para $f=xy^2$ em $(1,2)$: $P_2=4+4h+4k+4hk+k^2$.

Com derivadas de ordem 3 contínuas, usa $g(t)=f(a+th)$: o resto é $g^{(3)}(\xi)/6$ para algum $0<\xi<1$.

Extremos livres

Num extremo interior diferenciável, $\nabla f=0$ é necessário, não suficiente. Para $f\in C^2$ num ponto estacionário, $D=f_{xx}f_{yy}-f_{xy}^2$:

Condição	Resultado
$D>0$, $f_{xx}>0$	Mínimo local estrito
$D>0$, $f_{xx}<0$	Máximo local estrito
$D<0$	Sela
$D=0$	Inconclusivo

• $x^2+y^4$ tem mínimo na origem e $x^2-y^4$ tem sela, com a mesma hessiana. Quando o teste falha, analisa os sinais da função.
• Em qualquer dimensão: hessiana positiva definida dá mínimo estrito, negativa definida dá máximo estrito, indefinida dá sela.

Extremos absolutos e Lagrange

Continuidade num compacto garante máximo e mínimo. Reúne interior, fronteira e pontos não diferenciáveis; compara valores. Num domínio aberto ou ilimitado, confirma primeiro a existência.

Sobre $g=0$ regular, com $f,g\in C^1$:

$$\nabla f=\lambda\nabla g,\qquad g=0.$$

Para $f=x+y$ em $x^2+y^2=4$: $x=y=\pm\sqrt2$, com extremos $\pm2\sqrt2$.

• Trata separadamente pontos com $\nabla g=0$ e nunca dividas por uma coordenada sem analisar o caso zero.
• Numa restrição ilimitada, verifica o comportamento no infinito: pode haver máximo sem mínimo.
• Lagrange encontra candidatos, não classifica.

Lagrange e várias restrições