Integrais de linha e teorema de Green

Escalar ou vetorial

Para curva regular por troços $\mathbf r(t)$, $a\le t\le b$:

Integral	Parametrização	Inverter o sentido
Escalar, por exemplo massa	$\int_a^b f(\mathbf r(t))\|\mathbf r'(t)\|\,dt$	Conserva o valor
Vetorial, por exemplo trabalho	$\int_a^b\mathbf F(\mathbf r(t))\cdot\mathbf r'(t)\,dt$	Troca o sinal

$ds$ mede comprimento; $d\mathbf r$ é deslocamento orientado.

Potencial e domínio

Se $\mathbf F=\nabla\phi$, o trabalho é $\phi(B)-\phi(A)$, independente do caminho.

• Integra uma componente e determina a função restante comparando as outras derivadas.
• O teste $P_y=Q_x$ no plano, ou $\nabla\times\mathbf F=0$ no espaço, só garante potencial com regularidade e topologia adequadas, por exemplo $C^1$ num aberto simplesmente conexo.
• O campo $(-y/(x^2+y^2),x/(x^2+y^2))$ tem rotacional zero fora da origem, mas circulação $2\pi$: o buraco impede a conclusão.

Green, circulação e fluxo

$P,Q$ de classe $C^1$ numa vizinhança de toda a região $D$ e da sua fronteira, regular por troços. Orientação positiva: região à esquerda, exterior anti-horário, buracos horários.

$$\oint_{\partial D}P\,dx+Q\,dy=\iint_D(Q_x-P_y)\,dA,\qquad \oint_{\partial D}P\,dy-Q\,dx=\iint_D(P_x+Q_y)\,dA.$$

A primeira é circulação; a segunda é fluxo exterior. Com orientação positiva, a área é $\oint x\,dy=-\oint y\,dx=\tfrac12\oint(x\,dy-y\,dx)$. Um campo definido apenas na curva não basta: confirma que não há singularidades no interior.

Potenciais e singularidades