Integrais duplos

Região e ordem de integração

$\iint_D1\,dA$ mede área. Para $a\le x\le b$ e $g_1(x)\le y\le g_2(x)$:

$$\iint_D f\,dA=\int_a^b\int_{g_1(x)}^{g_2(x)}f\,dy\,dx.$$

1. Desenha a região e escreve as desigualdades.
2. Escolhe faixas verticais ou horizontais e resolve as fronteiras para a variável interior.
3. Divide a região onde uma fronteira muda. Trocar só os diferenciais não conserva a região.

No triângulo $(0,0),(2,0),(1,2)$, faixas horizontais dão uma só descrição; faixas verticais exigem duas partes, com a mudança em $x=1$:

Trocar a ordem pode desbloquear uma primitiva: $\int_0^1\int_x^1e^{y^2}\,dy\,dx=\int_0^1ye^{y^2}\,dy=(e-1)/2$.

Polares e mudança de variáveis

$$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad r\ge0,\qquad dA=r\,dr\,d\theta.$$

Transforma função, fronteiras e elemento de área. No disco unitário, $\iint_D(x^2+y^2)\,dA=\pi/2$.

Para $(x,y)=T(u,v)$ de classe $C^1$, invertível no interior e com jacobiano não nulo:

$$\iint_D f\,dA=\iint_E f(T(u,v))\left|\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|du\,dv.$$

Usa o determinante da inversa quando defines $u,v$ a partir de $x,y$. Evita cobrir a região várias vezes.

Massa e momentos

Para densidade $\sigma\ge0$ e massa $M>0$:

$$M=\iint_D\sigma\,dA,\qquad (\bar x,\bar y)=\frac1M\iint_D(x,y)\sigma\,dA.$$ $$I_x=\iint_Dy^2\sigma\,dA,\qquad I_y=\iint_Dx^2\sigma\,dA,\qquad I_O=I_x+I_y.$$

Um integrando ímpar integra a zero apenas com domínio e integrando completo simétricos na coordenada relevante.

Regiões e mudanças