Equações diferenciais parciais

Ordem, linearidade e classificação

• A ordem é a maior ordem de derivação presente.
• É linear se a incógnita e as suas derivadas aparecem à primeira potência, sem produtos entre elas. É homogénea se o termo independente é zero; só então combinações de soluções continuam a ser soluções.
• Numa equação não homogénea, a solução geral é uma particular mais a geral da homogénea associada.

Para $Au_{xx}+Bu_{xy}+Cu_{yy}+\text{termos de ordem menor}=0$:

$B^2-4AC$	Tipo
Positivo	Hiperbólica
Zero	Parabólica
Negativo	Elíptica

$B$ é o coeficiente completo de $u_{xy}$; se estiver escrito $2B'u_{xy}$, usa $B=2B'$.

Transporte e separação

Para $u_t+cu_x=0$ com $c$ constante e $u(x,0)=g(x)$:

$$u(x,t)=g(x-ct).$$

Se $c>0$, o perfil desloca-se para a direita sem mudar de forma.

Em $u_t=u_{xx}$ com fronteiras nulas em $0$ e $\pi$, o ensaio $u=X(x)T(t)$ seleciona $\lambda=n^2$ e modos $e^{-n^2t}\sin(nx)$. Um dado não modal exige série de Fourier.

• Calor: um dado inicial; modos que decaem.
• Onda: deslocamento e velocidade iniciais; modos que oscilam.
• Laplace: equilíbrio determinado pelos dados de fronteira.

Integrar $u_x=f$ introduz uma função arbitrária das restantes variáveis. Verifica regularidade, a EDP e todos os dados no domínio pedido.

Separação de variáveis