Ondas e vibração

Modos e dois dados iniciais

Em $0<x<L$, corda ideal sem amortecimento, $c>0$:

$$u_{tt}=c^2u_{xx},\qquad u(0,t)=u(L,t)=0,\qquad u(x,0)=f(x),\quad u_t(x,0)=g(x).$$

Com frequência $\omega_n=n\pi c/L$:

$$u(x,t)=\sum_{n\ge1}\sin\frac{n\pi x}{L} \left(A_n\cos(\omega_nt)+B_n\sin(\omega_nt)\right).$$ $$A_n=\frac2L\int_0^Lf(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx,\qquad B_n=\frac{2}{L\omega_n}\int_0^Lg(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx.$$

• O deslocamento escolhe $A_n$; a velocidade escolhe $\omega_nB_n$. Divide o coeficiente de Fourier da velocidade por $\omega_n$.
• Os modos oscilam sem decair: a energia alterna entre cinética e potencial, ao contrário do calor.
• Os modos dependem de $L$: $\sin(3\pi x)$ é modo puro em $(0,1)$, mas não em $(0,\pi)$.

Para $f=0$, $g=\sin x$ em $(0,\pi)$ com $c=1$: $u(x,t)=\sin x\sin t$. A corda parte do equilíbrio com velocidade $\sin x$.

Para aceitar uma solução, verifica a EDP, as duas fronteiras e separadamente $u(x,0)$ e $u_t(x,0)$.

Deslocamento e velocidade gerais