Limites e continuidade em várias variáveis

Domínio e níveis

• Impõe todas as restrições em simultâneo. Para $\log(x^2+y^2-1)/\sqrt{4-x^2-y^2}$, o domínio é o anel $1<x^2+y^2<4$.

• Interior: cabe uma bola pequena centrada no ponto dentro do conjunto. Fronteira: qualquer bola centrada no ponto encontra o conjunto e o complemento.
• Em $\mathbb R^n$, um conjunto é compacto se e só se é fechado e limitado. Uma função contínua num compacto não vazio atinge máximo e mínimo.
• Níveis $f=c$ vivem no domínio. O gráfico de $f(x,y)$ vive em três dimensões.

Quádricas pelos cortes

Equação	Superfície
$x^2+y^2+z^2=1$	Esfera
$z=x^2+y^2$	Paraboloide elíptico
$z=x^2-y^2$	Paraboloide hiperbólico
$x^2+y^2-z^2=1$	Hiperboloide de uma folha
$z^2-x^2-y^2=1$	Hiperboloide de duas folhas, com $\lvert z\rvert\ge1$
$z^2=x^2+y^2$	Cone duplo
$x^2+y^2=1$	Cilindro paralelo a $z$

Fixa uma coordenada para reconhecer os cortes. Translações mudam o centro; coeficientes positivos diferentes mudam os semieixos.

Refutar ou provar um limite

O limite em $a$ exige o mesmo $\delta$ em todas as direções do domínio:

$$\forall\varepsilon>0\ \exists\delta>0:\quad 0<\|x-a\|<\delta\implies |f(x)-L|<\varepsilon.$$

• Para refutar, basta um caminho incompatível. Em $xy/(x^2+y^2)$, os eixos dão 0 e a diagonal dá $1/2$: não há limite.
• Retas concordantes não provam. Em $x^2y/(x^4+y^2)$, todas as retas dão 0, mas $y=x^2$ dá $1/2$: o $\delta$ de cada reta encolhe com a inclinação.
• Limites iterados iguais também não provam: aproximam uma variável de cada vez. Se diferirem, refutam.
• Para provar, encontra uma estimativa uniforme, como $|h|\le|y|\le\sqrt{x^2+y^2}$ para $x^2y/(x^2+y^2)$, com $\delta=\varepsilon$. Em polares, o majorante tem de controlar todos os ângulos.

Num ponto de acumulação, continuidade exige $f(a)$ definido e limite igual a $f(a)$. Limites vetoriais verificam-se componente a componente. Parciais no ponto não garantem continuidade.

Limites e caminhos