Laplace no retângulo

Dirichlet num só lado

Em $0<x<a$, $0<y<b$, com $u_{xx}+u_{yy}=0$, $u=0$ em $x=0$, $x=a$ e $y=0$, e $u(x,b)=f(x)$. Define $\omega_n=n\pi/a$:

$$u(x,y)=\sum_{n\ge1}B_n \frac{\sinh(\omega_ny)}{\sinh(\omega_nb)}\sin(\omega_nx),\qquad B_n=\frac2a\int_0^af(x)\sin(\omega_nx)\,dx.$$

• O seno anula os lados verticais; o seno hiperbólico anula a base. O denominador normaliza o fator para valer 1 no topo.
• Para $a=b=1$, $f=1$: $B_n=4/(n\pi)$ nos ímpares, zero nos pares. Os cantos superiores têm dados incompatíveis; a solução não se prolonga continuamente a esses cantos.

Dados em dois lados

Com base $g$ e topo $f$, conserva os lados verticais a zero e soma os dois problemas de um só lado. $F_n$ é o coeficiente de senos de $f$ calculado acima; $G_n$ calcula-se pela mesma fórmula, substituindo $f$ por $g$:

$$Y_n(y)=G_n\frac{\sinh(\omega_n(b-y))}{\sinh(\omega_nb)} +F_n\frac{\sinh(\omega_ny)}{\sinh(\omega_nb)}.$$

O primeiro fator vale 1 na base e 0 no topo; o segundo faz o contrário.

Neumann, modo constante e Robin

Base	Fator vertical normalizado no topo
$u=0$	$\sinh(\omega_n y)/\sinh(\omega_n b)$
$u_y=0$	$\cosh(\omega_n y)/\cosh(\omega_n b)$

Os coeficientes de senos do mesmo dado superior não mudam.

Se os lados verticais forem isolados, usa cossenos e inclui $n=0$: o modo constante interpola a média entre a base e o topo. Omiti-lo perde a média.

Em Robin, confirma o sinal com a normal exterior. Na base, $\partial_nu=-u_y$, por isso $\partial_nu+u=0$ equivale a $u_y=u$.

Robin com derivada exterior