Derivadas parciais, gradiente e jacobiana

Parciais e derivadas direcionais

$$f_x(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h,b)-f(a,b)}h,\qquad D_{\mathbf u}f(p)=\lim_{h\to0}\frac{f(p+h\mathbf u)-f(p)}h.$$

• A parcial fixa as outras coordenadas. As mistas coincidem se forem contínuas numa vizinhança.
• Aqui $\mathbf u$ é um versor: normaliza a direção para medir variação por unidade de distância.
• Se $f$ for diferenciável, $D_{\mathbf u}f=\nabla f\cdot\mathbf u$. Sem diferenciabilidade, volta à definição.

Gradiente e níveis

Se $f$ é diferenciável e $\nabla f(p)\ne0$:

• Maior aumento $\|\nabla f(p)\|$ na direção do gradiente; maior descida na oposta. Derivada zero nas direções perpendiculares, só nesse ponto.
• O gradiente é normal ao nível que passa pelo ponto.

Para $f=x^2+2y^3-xy$ em $(1,0)$, $\nabla f=(2,-1)$. Na direção $(3,4)$, o versor é $(3/5,4/5)$ e a taxa é $2/5$. A composição $f(p+t(3,4))$ varia 5 vezes mais depressa, porque cada unidade de $t$ percorre 5 unidades de distância.

Diferenciabilidade e aproximação linear

$$f(p+h)=f(p)+\nabla f(p)\cdot h+o(\|h\|).$$

• Parciais contínuas numa vizinhança chegam. Parciais só no ponto, mesmo com continuidade e todas as direcionais, não chegam.
• Plano tangente a $z=f(x,y)$: $z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$. Diferencial: $df=f_x\,dx+f_y\,dy$.
• Contraexemplo: $w=x^3/(x^2+y^2)$, $w(0,0)=0$, é contínua. Para um versor $(a,b)$, $D_{(a,b)}w(0,0)=a^3$, enquanto $\nabla w(0,0)\cdot(a,b)=a$: não coincidem em geral.

Jacobiana

Para $\mathbf F:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ diferenciável, $J_{\mathbf F}$ tem uma linha por componente e uma coluna por variável:

$$\mathbf F(p+h)\approx\mathbf F(p)+J_{\mathbf F}(p)h,\qquad D_{\mathbf u}\mathbf F(p)=J_{\mathbf F}(p)\mathbf u.$$

Para $\mathbf F=(x^2+y,xy)$, $J_{\mathbf F}=\begin{pmatrix}2x&1\\y&x\end{pmatrix}$. Confere as dimensões antes de multiplicar.

Contraexemplos