Curvas paramétricas e funções vetoriais

Parametrização e regularidade

• A imagem é o percurso; o parâmetro determina sentido e velocidade.
• Segmento de $P$ a $Q$: $\mathbf r(t)=P+t(Q-P)$, $0\le t\le1$.
• Circunferência de raio $R>0$: $(a+R\cos t,b+R\sin t)$, anti-horária. Trocar o sinal do seno inverte o sentido.
• Velocidade $\mathbf r'$, velocidade escalar $v=\|\mathbf r'\|$, aceleração $\mathbf r''$, tudo componente a componente.
• Regular onde $\mathbf r'\ne0$: só aí se define a tangente unitária. Velocidade nula impede dividir por $v$.

Triedro, planos e curvatura

Para curva $C^2$ regular, onde $\mathbf T'\ne0$:

$$\mathbf T=\frac{\mathbf r'}v,\qquad \mathbf N=\frac{\mathbf T'}{\|\mathbf T'\|},\qquad \mathbf B=\mathbf T\times\mathbf N.$$

Plano	Normal
Normal	$\mathbf T$
Osculador	$\mathbf B$
Retificador	$\mathbf N$

$$\kappa=\frac{\|\mathbf T'\|}{v} =\frac{\|\mathbf r'\times\mathbf r''\|}{v^3},\qquad \mathbf a=v'\mathbf T+v^2\kappa\mathbf N.$$

• No plano, o numerador é $\lvert x'y''-y'x''\rvert$. Num gráfico, $\kappa=\lvert f''\rvert/(1+f'^2)^{3/2}$.
• Se $v$ varia, retira primeiro a componente tangencial: $\mathbf T'=(\mathbf r''-v'\mathbf T)/v$, com $v'=\mathbf r'\cdot\mathbf r''/v$. Normalizar $\mathbf r''$ só dá $\mathbf N$ quando a componente tangencial é nula.
• Onde $\kappa>0$, o centro de curvatura é $P+\mathbf N/\kappa$. Numa reta, $\kappa=0$ e não há normal única.

Na hélice $(\cos t,\sin t,t)$, em $t=0$: $\mathbf T=(0,1,1)/\sqrt2$, $\mathbf N=(-1,0,0)$, $\kappa=1/2$ e o centro é $(-1,0,0)$. A figura mostra a projeção no plano $xy$, sem a subida em $z$.

$$L=\int_a^b v(t)\,dt,\qquad s(t)=\int_a^t v(u)\,du.$$

Com $v>0$, inverter $s(t)$ dá a parametrização pelo arco, de velocidade escalar 1. Integrar $\mathbf r'$ dá deslocamento, não comprimento.

Curvatura