Transformada de Laplace

Definição e tabela

$$F(s)=\mathcal L\{f\}(s)=\int_0^{\infty}e^{-st}f(t)dt.$$

Continuidade por partes em intervalos finitos e $|f(t)|\le Me^{\alpha t}$ eventualmente garantem existência para $s>\alpha$. É uma condição suficiente; confere o domínio concreto do integral.

$f(t)$	$F(s)$	Região suficiente
$1$	$1/s$	$s>0$
$t^n$, $n\in\mathbb N_0$	$n!/s^{n+1}$	$s>0$
$e^{at}$	$1/(s-a)$	$s>a$
$\cos\omega t$	$s/(s^2+\omega^2)$	$s>0$
$\sin\omega t$	$\omega/(s^2+\omega^2)$	$s>0$
$\cosh at$, $\sinh at$	$s/(s^2-a^2)$, $a/(s^2-a^2)$	$s>\vert a\vert$

A transformada é linear. Para inverter, usa frações simples, completa quadrados e ajusta fatoriais ou frequências: $3/[(s-2)^2+9]$ corresponde a $e^{2t}\sin3t$.

Translações e derivadas

$$\mathcal L\{e^{at}f(t)\}=F(s-a),\qquad \mathcal L\{u(t-a)f(t-a)\}=e^{-as}F(s),\quad a\ge0.$$

$u(t-a)$ vale zero antes de $a$ e um depois. Para aplicar atraso, reescreve a função em $t-a$: $u(t-2)t=u(t-2)[(t-2)+2]$.

Para funções com a regularidade e ordem exponencial necessárias, e $s$ suficientemente grande,

$$\mathcal L\{f'\}=sF-f(0),\qquad \mathcal L\{f''\}=s^2F-sf(0)-f'(0).$$

Usa valores iniciais em $0^+$. A primeira fórmula exige $f$ contínua e derivável por partes; a segunda exige também $f'$ contínua. Derivar por intervalos uma função com saltos não inclui esses saltos.

Outras relações úteis são $\mathcal L\{tf(t)\}=-F'(s)$ e $\mathcal L\{\int_0^tf\}=F(s)/s$.

Convolução, impulsos e periodicidade

• A convolução $(f*g)(t)=\int_0^tf(\tau)g(t-\tau)d\tau$ corresponde a $F(s)G(s)$, sob condições de existência. O produto ponto a ponto não tem essa propriedade.
• Para $a>0$, $\mathcal L\{\delta(t-a)\}=e^{-as}$. O delta é uma distribuição.
• Para $f$ periódica, contínua por partes, de período $T>0$:

$$F(s)=\frac{\int_0^Te^{-st}f(t)dt}{1-e^{-sT}},\qquad s>0.$$

Problemas de valor inicial

Transforma cada termo, inclui os dados iniciais, isola $Y$ e inverte. Em $y'+y=u(t-2)$, $y(0)=0$:

$$Y=\frac{e^{-2s}}{s(s+1)},\qquad y=u(t-2)[1-e^{-(t-2)}].$$

A EDO vale por intervalos. Propriedades e verificações completas.