Funções hiperbólicas e integrais impróprios

Funções hiperbólicas

$$\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}2,\quad \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}2,\quad \tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x},\quad \cosh^2x-\sinh^2x=1.$$

• $\sinh$ é ímpar, crescente, com imagem $\mathbb R$; $\cosh$ é par, com mínimo um e imagem $[1,+\infty[$.
• $\tanh$ tem imagem $]-1,1[$. As três funções estão definidas em todo o real.
• As derivadas são $\cosh x$, $\sinh x$ e $1/\cosh^2x$, respetivamente.

Inversa	Expressão	Domínio	Derivada interior
$\operatorname{arsinh}x$	$\ln(x+\sqrt{x^2+1})$	$\mathbb R$	$1/\sqrt{1+x^2}$
$\operatorname{arcosh}x$	$\ln(x+\sqrt{x^2-1})$	$[1,+\infty[$	$1/\sqrt{x^2-1}$, $x>1$
$\operatorname{artanh}x$	$\frac12\ln((1+x)/(1-x))$	$]-1,1[$	$1/(1-x^2)$

O ramo de $\operatorname{arcosh}$ devolve valores não negativos. Outras inversas hiperbólicas.

Integrais impróprios

Um intervalo ilimitado ou uma singularidade exige limites de integrais próprios:

$$\int_a^{\infty}f=\lim_{R\to\infty}\int_a^Rf.$$

• Numa singularidade interior, separa os dois lados e exige ambos finitos. Em toda a reta, trata as duas caudas separadamente.
• $\int_1^{\infty}x^{-p}dx$ converge exatamente para $p>1$.
• $\int_0^1x^{-p}dx$ converge exatamente para $p<1$.
• Para $f,g>0$ perto do extremo, $f/g\to L\in]0,+\infty[$ dá a mesma natureza. Uma majorante convergente garante convergência; uma minorante divergente força divergência.

Em $\int_0^{\infty}dx/[\sqrt x(1+x)]$, o comportamento é $x^{-1/2}$ em zero e $x^{-3/2}$ no infinito; ambos convergem e o valor é $\pi$.

Séries, restos e sinais

Se $f$ é positiva, contínua e eventualmente decrescente, com $f(n)=a_n$, a série e $\int_N^{\infty}f$ têm a mesma natureza. Para uma série convergente, com $N$ já na região onde $f$ é positiva e decrescente,

$$\int_{N+1}^{\infty}f\le\sum_{n=N+1}^{\infty}a_n\le\int_N^{\infty}f.$$

Assim, $\sum_{n=2}^{\infty}1/[n(\ln n)^p]$ converge exatamente para $p>1$.

$\int_{-1}^1dx/x$ diverge: os lados não convergem separadamente. O cancelamento simétrico dá um valor principal, que é outro conceito. Convergência de $\int|f|$ garante convergência absoluta; divergência do módulo não decide um integral com sinais.