Resposta em frequência e amostragem

Um SLIT trata cada frequência por um ganho complexo. A amostragem altera o espectro de outra forma: repete-o em torno de múltiplos da frequência de amostragem. Se essas cópias se sobrepõem, frequências diferentes ficam indistinguíveis nas amostras.

Resposta em frequência

Aplicamos $x(t)=e^{j\omega t}$ à convolução. Tirando $e^{j\omega t}$ do integral,

$$y(t)=e^{j\omega t}\int_{-\infty}^{\infty}h(\lambda)e^{-j\omega\lambda}d\lambda =H(\omega)e^{j\omega t}.$$

As exponenciais complexas são funções próprias do sistema. $H(\omega)$ é a transformada de Fourier da resposta impulsional. Para entrada geral, $Y(\omega)=H(\omega)X(\omega)$, um produto, não uma convolução espectral.

Para uma sinusoide real, o módulo $|H|$ multiplica a amplitude e o argumento $\arg H$ acrescenta fase. Em cascata, os $H$ multiplicam; em paralelo com soma das saídas, somam. Com realimentação negativa $e=x-H_2y$ e caminho direto $y=H_1e$, a relação formal é $H_{\rm eq}=H_1/(1+H_1H_2)$. A existência de uma expressão algébrica não prova estabilidade do sistema fechado.

Filtro RC passa-baixo

Parte de $\tau y'+y=x$ com $\tau=RC$. Com $x=e^{j\omega t}$ e $y=H(\omega)e^{j\omega t}$, a derivada traz $j\omega$: $\tau j\omega H+H=1$. Logo, com saída no condensador,

$$H(\omega)=\frac1{1+j\omega\tau},\qquad |H|=\frac1{\sqrt{1+(\omega\tau)^2}},\qquad \arg H=-\arctan(\omega\tau).$$

A frequência de corte é $\omega_c=1/\tau$, ou $f_c=1/(2\pi RC)$. No corte, o ganho é $1/\sqrt2$, aproximadamente $-3{,}01\,\mathrm{dB}$, e a fase $-45^\circ$. Para um ganho de tensão, decibéis usam $20\log_{10}|H|$; a comparação de potências usa $10\log_{10}$.

Para $R=1\,\mathrm{k\Omega}$ e $C=1\,\mathrm{\mu F}$, $f_c=159\,\mathrm{Hz}$. Uma entrada de amplitude $5\,\mathrm V$ a $\omega=1000\,\mathrm{rad/s}$ sai com amplitude $3{,}54\,\mathrm V$ e atraso de fase $\pi/4$. O atraso entre máximos é $(\pi/4)/1000=0{,}785\,\mathrm{ms}$ nesta frequência; não é um atraso constante para todas as frequências.

Com saída na resistência, $H_{\rm PA}=j\omega\tau/(1+j\omega\tau)$ é passa-alto. Em baixa frequência aproxima-se de zero, em alta aproxima-se de um. A escolha dos terminais de saída muda o filtro.

Um RLC série com saída em $R$ tem $H_R=R/[R+j(\omega L-1/(\omega C))]$, um passa-banda. Ganho e fase são propriedades do porto entrada-saída, não só do nome dos componentes.

Amostragem no tempo e na frequência

Para período $T_s$, $f_s=1/T_s$ e $\omega_s=2\pi/T_s$, o trem de impulsos é $p(t)=\sum_n\delta(t-nT_s)$. O sinal amostrado ideal é

$$x_s(t)=x(t)p(t)=\sum_nx(nT_s)\delta(t-nT_s).$$

É diferente da sequência $x[n]$, embora guarde os mesmos valores. A transformada do trem é $(2\pi/T_s)\sum_k\delta(\omega-k\omega_s)$. Como produto no tempo vira convolução em frequência,

$$X_s(\omega)=\frac1{T_s}\sum_{k=-\infty}^{\infty}X(\omega-k\omega_s).$$

Cada cópia ocupa uma largura $4\pi B$: desde o seu centro menos $2\pi B$ até ao centro mais $2\pi B$. A cópia centrada em zero termina em $2\pi B$; a seguinte começa em $\omega_s-2\pi B$. Para existir um intervalo entre elas, é preciso $2\pi B<\omega_s-2\pi B$, ou $f_s>2B$.

As cópias estão separadas por $\omega_s$. Não confundas $f_s$, em hertz, com $\omega_s$, em radianos por segundo.

Teorema de amostragem

Se o sinal é limitado em banda, $X(\omega)=0$ para $|\omega|>2\pi B$, a reconstrução ideal sem sobreposição exige

$$f_s>2B.$$

Usamos a desigualdade estrita para evitar ambiguidades na fronteira. Amostrar uma sinusoide precisamente duas vezes por período pode perder toda a informação de amplitude ou fase, por exemplo um seno amostrado nos zeros.

Na reconstrução ideal,

$$x(t)=\sum_nx[n]\,\operatorname{sinc}\left(\pi\left(\frac t{T_s}-n\right)\right), \qquad\operatorname{sinc}(z)=\frac{\sin z}{z}.$$

Esta fórmula exige todas as amostras e banda adequada. Um sistema real coloca um filtro antialiasing analógico antes do conversor para atenuar frequências acima de $f_s/2$. Filtrar depois de ocorrer aliasing não recupera, em geral, a frequência original, porque a cópia sobreposta já é indistinguível do conteúdo da banda.

Aliasing

Para $x(t)=\cos(2\pi ft)$, as amostras são $\cos(2\pi f n/f_s)$. Acrescentar um múltiplo inteiro de $f_s$ a $f$ não altera a sequência; trocar o sinal da frequência também não altera este cosseno.

Uma sinusoide de $900\,\mathrm{Hz}$ amostrada a $1000\,\mathrm{Hz}$ tem as mesmas amostras que um cosseno de $100\,\mathrm{Hz}$, porque $900=1000-100$. A frequência aparente pode obter-se reduzindo $f$ ao intervalo $[-f_s/2,f_s/2]$ e tomando o módulo para este cosseno real. Para uma sinusoide com fase, considera também a alteração da fase na reflexão.

A demo mostra um cosseno de amplitude um com as amostras ideais, sem quantização; a curva tracejada é o cosseno de frequência reduzida que coincide nos pontos. Com $f=7\,\mathrm{Hz}$ e $f_s=10\,\mathrm{Hz}$, os pontos também pertencem ao cosseno de $3\,\mathrm{Hz}$. Mantém o sinal em $7\,\mathrm{Hz}$ e aumenta apenas $f_s$: em $14\,\mathrm{Hz}$ chegas à fronteira; acima desse valor, a frequência reduzida coincide com a original. Isso não identifica uma frequência desconhecida sem uma hipótese de banda, mas mostra a condição suficiente para esta banda.

Quantizar não é amostrar

Uma aquisição a $48\,\mathrm{kHz}$ com $16$ bits por amostra, num canal, usa $768\,\mathrm{kbit/s}$ sem compressão. A frequência de amostragem limita a banda representável; o número de bits limita a resolução dos valores. Aumentar os bits não corrige uma frequência de amostragem insuficiente.