Trabalho e energia

Trabalho e energia cinética

Força constante em deslocamento retilíneo: $W=Fd\cos\phi$ , em joules. Só a projeção no deslocamento do ponto de aplicação conta.
Em geral: $W=\int_C\vec F\cdot d\vec r$ . Em 1D, é a área com sinal sob $F_x(x)$ .
Teorema: $W_\text{resultante}=K_f-K_i$ , com $K=mv^2/2$ . Soma o trabalho de todas as forças.

Perpendicular ao deslocamento do ponto de aplicação não faz trabalho: normal numa pista fixa, tensão de fio com suporte fixo. Se o suporte se move (elevador a subir), a normal desloca-se e faz trabalho.

Exemplo: caixa de $2\ \mathrm{kg}$ puxada $3\ \mathrm m$ a $60^\circ$ com $20\ \mathrm N$ : $W=30\ \mathrm J$ . Sem atrito, $v_f=\sqrt{30}\approx5{,}48\ \mathrm{m/s}$ ; com atrito de $5\ \mathrm N$ , $W=15\ \mathrm J$ e $v_f=\sqrt{15}\approx3{,}87\ \mathrm{m/s}$ .

Potencial e balanço

Força conservativa: $W_\mathrm{cons}=-\Delta U$ , caminho independente. Em 1D, $F_x=-dU/dx$ . O zero de $U$ é arbitrário.

Modelo	Potencial
Gravidade uniforme ( $y$ para cima)	$U=mgy$
Mola ideal	$U=kx^2/2$
Gravitação (zero no infinito)	$U=-GMm/r$

K_i+U_i+W_\text{não cons}=K_f+U_f.

Se $W_\text{não cons}=0$ , $E=K+U$ conserva-se. Com atrito, a energia total conserva-se mas $K+U$ pode cair.
A mola faz $W=-\Delta(kx^2/2)$ ; quem a estica devagar faz o simétrico.
Resolve por estados: fixa o zero, lista os trabalhos restantes e verifica se o estado final é acessível. Uma previsão de $K_f<0$ significa que o corpo pára antes.

A velocidade constante dá o atrito sem a normal: com resultante nula, $f_k$ iguala a componente motora. Exemplo da mola e do trecho com atrito.

Volta vertical sem atrito

Ponto material, pista de raio $R$ , partida do repouso a altura $h$ do fundo:

A normal na pista fixa não faz trabalho; a energia usa só a gravidade.
No topo, $mg+N=mv_\mathrm{topo}^2/R$ ; o limite $N=0$ exige $v_\mathrm{topo}^2=gR$ .
Da energia, $h_\mathrm{min}=5R/2$ .

Sem a condição dinâmica, chegar a $2R$ pareceria suficiente; sem a energia, não saberias se lá chegas. Um corpo que rola precisa da energia de rotação.

Equilíbrio e regiões acessíveis

Equilíbrio: $U'(x_e)=0$ . Mínimo local estável, máximo instável, patamar neutro.
$U''>0$ confirma mínimo e $U''<0$ máximo; $U''=0$ não decide (examina a força perto do ponto).
Acessível: $E\ge U$ . Em $E=U$ a velocidade anula-se; com força não nula, o movimento inverte. Equilíbrio exige análise separada.

Exemplo ( $U=2x^2-x^4$ ): equilíbrios em $0$ e $\pm1$ ; $U''(0)=+4$ estável, $U''(\pm1)=-8$ instáveis.

Potência

$P=\vec F\cdot\vec v$ , em watts; com rendimento, $P_\mathrm{entrada}=P_\text{útil}/\eta$ . Resultante nula admite trabalho: o motor faz positivo e o peso negativo, com $K$ constante.

Balanços com mola e atrito.

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