Medir oscilações amortecidas

Linha de base primeiro

• Posição e aceleração partilham frequência e taxa de decaimento; diferem em amplitude e fase.
• O acelerómetro parado pode medir $g$; a orientação, o canal e a remoção de gravidade mudam a leitura. Guarda dados brutos e unidades.
• Mede amplitudes desde a linha de base, não desde zero. Picos junto ao ruído têm maior incerteza relativa.

Período e taxa

1. Usa máximos do mesmo sinal; $N+1$ picos delimitam $N$ ciclos.
2. $T_d=(t_N-t_0)/N$. Máximo e mínimo seguinte distam meio período.
3. Com amplitudes $A_n$ e $A_{n+N}$ desde a base:

$$\gamma=\frac{\ln(A_n/A_{n+N})}{NT_d}, \qquad \delta=\gamma T_d,\qquad t_{1/2}=\frac{\ln2}{\gamma}.$$

A razão é adimensional; $\gamma$ fica em $\mathrm{s^{-1}}$. Vários ciclos reduzem leituras independentes, nunca um relógio mal calibrado.

Exemplo: $1{,}00$, $0{,}80$, $0{,}64\ \mathrm{m/s^2}$ em $0$, $2$, $4\ \mathrm s$ com base nula: $T_d=2\ \mathrm s$, $\gamma\approx0{,}1116\ \mathrm{s^{-1}}$, meia amplitude em $6{,}21\ \mathrm s$.

Com muitos picos, ajusta $\ln(A_n/A_\mathrm{ref})$ contra $t_n$ (referência na mesma unidade); o declive é $-\gamma$. Lê os resíduos: curvatura sistemática pede rever a base ou o modelo de amortecimento. Poucos pontos não provam o modelo.

Período menor, amortecimento menor

O período não mede o amortecimento. Com a mesma amplitude inicial, um pêndulo de $T_d=1{,}0\ \mathrm s$ que perde $10\%$ por ciclo é mais curto ($\ell\approx0{,}25\ \mathrm m$) mas decai mais devagar ($\gamma\approx0{,}106\ \mathrm{s^{-1}}$) do que um de $T_d=2{,}0\ \mathrm s$ que perde metade por ciclo ($\ell\approx0{,}99\ \mathrm m$, $\gamma\approx0{,}347\ \mathrm{s^{-1}}$). Comparação completa.

Comprimento e incerteza

Para o modelo linear subamortecido:

$$\omega_d=\frac{2\pi}{T_d},\qquad \omega_0=\sqrt{\omega_d^2+\gamma^2},\qquad \tau=\frac1{2\gamma},\qquad Q=\frac{\omega_0}{2\gamma}.$$

• A amplitude tem constante $1/\gamma=2\tau$; a energia decai com $\tau$ na aproximação fraca.
• Só no pêndulo simples de pequenos ângulos: $\ell=g/\omega_0^2$. Um dispositivo extenso pode exigir o pêndulo físico.

Com $g$ fixo e amortecimento desprezável, $\ell=gT^2/(4\pi^2)$ e $\Delta\ell/\ell\approx2\Delta T/T$. Em $2{,}00\pm0{,}02\ \mathrm s$, cerca de $2\%$ em $\ell$. Escreve valor e incerteza na mesma casa decimal.

Fecha com intervalo, ciclos, unidades, método e resíduos. Compara os picos com a previsão de meia amplitude: concordar apoia o modelo nesse intervalo sem o provar em geral.

Ajuste e limites do modelo.