Regra da cadeia e funções implícitas

Regra da cadeia

Cada caminho de dependência contribui com um produto. Para $f(x(t),y(t))$ ou $w(u,v)=f(x(u,v),y(u,v))$:

$$\frac d{dt}f(x(t),y(t))=f_xx'+f_yy',\qquad w_u=f_xx_u+f_yy_u.$$

As parciais de $f$ avaliam-se no ponto $(x(t),y(t))$, não no parâmetro. Em $w_u$, mantém $v$ fixo.

Para $f=x^2y$, $x=t^2$, $y=1+t$: $z'=4t^3(1+t)+t^4$, que vale 9 em $t=1$. Confere por substituição direta.

Para $\mathbf g:\mathbb R^n\to\mathbb R^m$ e $\mathbf F:\mathbb R^m\to\mathbb R^p$:

$$J_{\mathbf F\circ\mathbf g}(a)=J_{\mathbf F}(\mathbf g(a))J_{\mathbf g}(a).$$

A ordem é $[p\times m][m\times n]$. Se $f(\mathbf r(t))=c$ e $f$ é diferenciável, $\nabla f\cdot\mathbf r'=0$: gradiente não nulo é normal ao nível.

Funções implícitas e sistemas

Se $F(a,b)=0$, $F\in C^1$ numa vizinhança e $F_y(a,b)\ne0$, a equação define localmente uma função diferenciável $y(x)$:

$$y'=-\frac{F_x}{F_y},\qquad z_x=-\frac{F_x}{F_z},\quad z_y=-\frac{F_y}{F_z}.$$

• Confirma o ponto na equação antes de derivar e o denominador não nulo antes de dividir.
• Na circunferência $x^2+y^2=4$, $y'=-x/y$ se $y\ne0$. Em $(2,0)$, define-se $x(y)$ porque $F_x\ne0$.
• Com $F\in C^2$: $F_{xx}+2F_{xy}y'+F_{yy}(y')^2+F_yy''=0$. Na circunferência em $(\sqrt3,1)$, $y''=-4$.
• Para sistemas $F=G=0$, deriva ambas as equações e resolve o sistema linear nas derivadas das variáveis dependentes. Determinante não nulo garante a representação local.

Sistemas e exemplos