Integrais triplos

Projeção e limites

$\iiint_V1\,dV$ mede volume. Projeta o sólido, integra primeiro entre as superfícies de cada coluna e só usa nos limites variáveis já exteriores. Quando a secção muda ou um buraco parte uma faixa, divide o sólido.

No tetraedro $x,y,z\ge0$, $x+y+z\le1$:

$$V=\int_0^1\int_0^{1-x}\int_0^{1-x-y}1\,dz\,dy\,dx=\frac16.$$

Cilíndricas

Para cilindros, $x^2+y^2$ e distâncias ao eixo $z$:

$$x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z,\qquad dV=r\,dz\,dr\,d\theta,\quad r\ge0.$$

Entre $z=x^2+y^2$ e $z=4$, a interseção dá $r=2$ e o volume é $8\pi$.

Em cartesianas: $x^2+y^2\le4$, $x^2+y^2\le z\le4$. Ao converter um integral já escrito, separa o jacobiano: $r^3\sin^2\theta+rz^2=r(y^2+z^2)$, por isso integra $y^2+z^2$, sem conservar o fator $r$.

Esféricas

Para distâncias à origem e cones com vértice na origem. Aqui $\theta$ é o ângulo no plano $xy$ e $\varphi$ mede-se a partir de $z$ positivo:

$$x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi,$$ $$dV=\rho^2\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta, \qquad \rho\ge0,\quad0\le\varphi\le\pi.$$

• Bola de raio $a$: volume $4\pi a^3/3$. Hemisfério superior: $0\le\varphi\le\pi/2$.
• Acima de $z=\sqrt{x^2+y^2}$: $0\le\varphi\le\pi/4$. A fração de ângulo não é a fração de volume, por causa de $\sin\varphi$.
• Confere a convenção angular em cada enunciado: outros textos trocam os nomes dos ângulos.

Massa e centro de massa

Para densidade $d\ge0$ e $M=\iiint_Vd\,dV>0$:

$$(\bar x,\bar y,\bar z)=\frac1M\iiint_V(x,y,z)d\,dV.$$

Com densidade constante, usa a simetria primeiro. No sólido do paraboloide, $\bar x=\bar y=0$ e $\bar z=8/3$.

Troca de ordem e tubo oco