Calor e séries de Fourier

Dirichlet ou Neumann

Em $0<x<L$, $t>0$, com $u_t=ku_{xx}$, $k>0$ e dado inicial $u(x,0)=f(x)$:

• Extremidades a zero, $u(0,t)=u(L,t)=0$: usa senos, sem modo constante.
• Extremidades isoladas, $u_x(0,t)=u_x(L,t)=0$: usa cossenos, incluindo o modo constante $a_0/2$, que é a média inicial e não decai.

$$u(x,t)=\sum_{n\ge1}B_ne^{-k(n\pi/L)^2t}\sin\frac{n\pi x}{L},\qquad B_n=\frac2L\int_0^Lf(x)\sin\frac{n\pi x}{L}\,dx.$$ $$u(x,t)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n\ge1}a_ne^{-k(n\pi/L)^2t}\cos\frac{n\pi x}{L},\qquad \frac{a_0}{2}=\frac1L\int_0^Lf(x)\,dx.$$

Para $n\ge1$, os coeficientes de Neumann são

$$a_n=\frac2L\int_0^Lf(x)\cos\frac{n\pi x}{L}\,dx.$$

• A taxa do modo $n$ é $k(n\pi/L)^2$. O modo 3 decai 9 vezes mais depressa que o fundamental: os detalhes finos desaparecem primeiro.
• Para $t>0$, o decaimento permite derivar a série no interior. Dados incompatíveis com a fronteira impedem continuidade no canto $t=0$ dessa fronteira.
• Nos saltos do dado inicial, a série vale a média dos limites laterais.

Exemplo Dirichlet

Para $L=\pi$, $k=1$ e $f=x(\pi-x)$:

$$B_n=\begin{cases}8/(\pi n^3),&n\text{ ímpar},\\0,&n\text{ par}. \end{cases}$$

O primeiro modo, $8\sin x/\pi$, excede a parábola no centro; o modo $n=3$, negativo aí, corrige parte do excesso. Depois de alguns instantes, o primeiro modo já aproxima bem o perfil.

Neumann e o modo constante