Valores e vetores próprios e diagonalização

Valores e espaços próprios

Para $A$ real quadrada de ordem $n$, procura reais $\lambda$ e vetores não nulos $v$ com $Av=\lambda v$:

1. Calcula $p_A(\lambda)=\det(A-\lambda I)$ e as raízes reais.
2. Para cada raiz, resolve $(A-\lambda I)v=0$ e obtém uma base de $E_\lambda=\ker(A-\lambda I)$.
3. Confirma $Av=\lambda v$ nos vetores obtidos.

O espaço próprio inclui zero; os vetores próprios excluem-no. Valor negativo inverte o sentido; zero envia a direção para a origem.

Para $A=\begin{bmatrix}4&1\\2&3\end{bmatrix}$: $p_A(\lambda)=(\lambda-5)(\lambda-2)$, $E_5=\operatorname{span}((1,1))$, $E_2=\operatorname{span}((1,-2))$.

Diagonalização e multiplicidades

$A$ diagonaliza sobre $\mathbb R$ exatamente com uma base de $n$ vetores próprios reais. Com esses vetores como colunas de $P$ e os valores na mesma ordem em $D$: $AP=PD$, $P^{-1}AP=D$, $A=PDP^{-1}$.

• Valores distintos dão vetores independentes: $n$ distintos bastam, mas não são necessários.
• $m_a(\lambda)$ conta a raiz no polinómio; $m_g(\lambda)=\dim E_\lambda$. Para cada valor, $1\le m_g\le m_a$; a diagonalização exige todas as raízes reais e $m_g=m_a$ em cada uma.

$J=\begin{bmatrix}2&1\\0&2\end{bmatrix}$ tem raiz 2 dupla mas $E_2=\operatorname{span}((1,0))$: não diagonaliza, ao contrário de $2I$. Ser triangular também não basta. Uma rotação de $90^\circ$ tem polinómio $\lambda^2+1$, sem raízes reais.

Potências e verificações

Se $A=PDP^{-1}$, para $k\ge0$ inteiro, $A^k=PD^kP^{-1}$ com $D^k$ a elevar cada entrada da diagonal. Para $k=0$, $D^0=I$; expoentes negativos exigem valores próprios não nulos. Confirma em $k=0$ e $k=1$.

Na convenção $p_A=\det(A-\lambda I)$, o coeficiente dominante é $(-1)^n$ e a constante é $\det A$. Soma e produto das raízes (com multiplicidades sobre $\mathbb C$): $\operatorname{tr}A$ e $\det A$. Estes testes não substituem os espaços próprios.

Lei a partir de espaços próprios

Uma base própria com os valores correspondentes determina a aplicação. Decompõe $v$ nessa base e multiplica cada parcela pelo seu valor. Se $E_{-2}=\operatorname{span}(e_1,e_2)$ e $E_7=\operatorname{span}((1,1,1))$,

$$(x,y,z)=(x-z)e_1+(y-z)e_2+z(1,1,1),$$

logo $T(x,y,z)=(-2x+9z,-2y+9z,7z)$.

Se $T$ diagonaliza, $T\circ T$ diagonaliza na mesma base, com fatores $\lambda_i^2$. Valores diferentes podem passar a ter o mesmo quadrado sem perder a base. O recíproco falha: $\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}$ não diagonaliza, mas o seu quadrado é zero e diagonal.

Matrizes simétricas

O teorema espectral garante que uma matriz real simétrica tem uma base ortonormada de vetores próprios reais:

$$Q^TAQ=D,\qquad Q^{-1}=Q^T.$$

Vetores próprios de valores distintos são ortogonais. Dentro de um espaço próprio repetido, podes ter de aplicar Gram-Schmidt antes de normalizar.

Multiplicidades e casos de falha.