Retas e planos

Equações de retas e planos

• Reta: $X=P+td$, $t\in\mathbb R$, $d\ne0$. Com uma componente de $d$ nula, a coordenada fica fixa; não divides por zero na cartesiana.
• No plano, $ax+by=c$ tem normal $(a,b)\ne0$.
• Em $\mathbb R^3$, plano $n\cdot X=c$, $n\ne0$; se passa por $P$, $c=n\cdot P$. Com direções independentes $u,v$, também $X=P+su+tv$, com normal $u\times v$.

Três pontos não alinhados dão normal $(Q-P)\times(R-P)$. Dois planos de normais independentes intersetam-se numa reta de direção $n_1\times n_2$; resolve as equações para um ponto.

Posições relativas

Para duas retas $r=P+td_1$ e $s=Q+ud_2$ no espaço:

Direções	Teste	Posição
Proporcionais	Um ponto de uma pertence à outra	Coincidentes
Proporcionais	Nenhum ponto comum	Paralelas distintas
Independentes	Sistema conjunto com solução	Concorrentes
Independentes	Sistema conjunto sem solução	Enviesadas

Com direções independentes, $(Q-P)\cdot(d_1\times d_2)=0$ também testa concorrência; se for não nulo, são enviesadas.

Para reta e plano, substitui $X=P+td$ em $n\cdot X=c$: $n\cdot d\ne0$ dá um único ponto; $n\cdot d=0$ com $n\cdot P=c$ significa reta contida; com $n\cdot P\ne c$, paralelismo sem interseção.

Planos de normais proporcionais são coincidentes ou paralelos distintos; compara também os termos independentes com o mesmo fator de proporcionalidade.

Projeções, distâncias e reflexão

As direções e normais abaixo são não nulas. Para um ponto $P$ e o plano $n\cdot X=c$:

$$H=P-\frac{n\cdot P-c}{n\cdot n}n,\qquad \operatorname{dist}(P,\text{plano})=\frac{|n\cdot P-c|}{\|n\|}.$$

$H$ é o ponto mais próximo e o refletido é $P'=2H-P$.

Para a reta $Q+td$:

$$H=Q+\frac{(P-Q)\cdot d}{d\cdot d}d,\qquad \operatorname{dist}(P,\text{reta})=\|P-H\|.$$

Em $\mathbb R^3$, a mesma distância é $\|(P-Q)\times d\|/\|d\|$. Entre retas de direções independentes:

$$\operatorname{dist}(r,s)=\frac{|(Q-P)\cdot(d_1\times d_2)|}{\|d_1\times d_2\|}.$$

Para os pontos mais próximos, resolve $E\cdot d_1=E\cdot d_2=0$, com $E=P+td_1-(Q+ud_2)$. Entre retas paralelas, usa a distância de um ponto de uma à outra. Entre planos paralelos, usa um ponto de um até ao outro.

Ângulos menores

Para retas, e para planos usando as normais:

$$\cos\theta=\frac{|d_1\cdot d_2|}{\|d_1\|\|d_2\|},\qquad 0\le\theta\le\pi/2.$$

Entre uma reta de direção $d$ e um plano de normal $n$:

$$\sin\alpha=\frac{|d\cdot n|}{\|d\|\|n\|},\qquad 0\le\alpha\le\pi/2.$$

O seno aparece porque o ângulo com o plano é complementar do ângulo com a normal.

Projeção e reflexão de um ponto.